2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第十章 第三節(jié)坐標(biāo)系 文

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1、 第三節(jié) 坐 標(biāo) 系 知識(shí)梳理 一、平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換. 二、極坐標(biāo)系的概念 1.極坐標(biāo)系. 如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系. 注意:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)

2、應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系. 2.極坐標(biāo). 設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角∠xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ). 一般地,不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為ρ≥0,θ可取任意實(shí)數(shù). 特別地,當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為(0,θ)(θ∈R),和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示. 如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(ρ,θ)表示;同時(shí),極坐標(biāo)(ρ,θ)表示的點(diǎn)也是唯一確定的. 三、極坐

3、標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 1.互化條件:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,如圖所示: 2.互化公式:設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ)(ρ≥0),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表: 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x,y) 極坐標(biāo)(ρ,θ) 互化公式 在一般情況下,由tan θ確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角. 四、常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn), 1 / 4 半徑為r的圓 ρ=r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0),半徑為r的圓

4、 ρ=2rcos θ 圓心為,半徑為r的圓 ρ=2rsin θ(0≤θ<π) 過極點(diǎn),傾斜角為α的直線 (1) θ=α(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0) 過點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線 ρcos θ=a 過點(diǎn),與 極軸平行的直線 ρsin θ=a(0<θ<π) ,基礎(chǔ)自測(cè) 1.(2013韶關(guān)二模)在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A引圓ρ=4sin θ的一條切線,則切線長為________. 解析:將點(diǎn)A化為直角坐標(biāo)是A(0,-2),圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0,圓心為(0,2),半徑為2,點(diǎn)A到圓心的距離為4,所以切線長為

5、=2. 答案:2 2.(2012粵西北九校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中,過圓ρ=4cos θ的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是________________. 解析:圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0,圓心為(2,0),過該點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=2. 答案:ρcos θ=2 3.(2013廣州二模)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A,點(diǎn)P是曲線ρsin2 θ=4cos θ上任一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P到直線ρcos θ+1=0的距離為d,則|PA|+d的最小值為____________________________. 解析:ρsin2 θ=4cos θ的直角坐標(biāo)方程為y2=4x,它是拋

6、物線,焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x+1=0,即直線ρcos θ+1=0,點(diǎn)A是直角坐標(biāo)為A(0,1).根據(jù)拋物線的定義,d=|PF|,所以|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=. 答案: 4.(2012南京模擬)已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ=3,ρ=4cos θ,則曲線C1,C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________. 解析:聯(lián)立解方程組 ρ≥0,0≤θ<,解得即兩曲線的交點(diǎn)為2,. 答案:2, 1.(2013北京卷)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線ρsin θ=2的距離等于________. 解析:極坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(,1),極坐

7、標(biāo)系直線ρsin θ=2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y=2,所以點(diǎn)到直線y=2的距離為d=1. 答案:1 2.(2013天津卷)已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,圓心為C,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,則|CP|=__________________. 解析:由ρ=4cos θ得:ρ2=4ρcos θ,化為直角坐標(biāo)方程得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圓心C(2,0),點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為P(2,2). 由兩點(diǎn)間距離公式得|CP|=2. 答案:2 1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-).若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是_

8、___________. 答案:(k∈Z) 2.(2012肇慶二模)在極坐標(biāo)系中,曲線ρ=2與cos θ+sin θ=0(0≤θ≤π)的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________. 解析:(法一)將ρ=2和cos θ+sin θ=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4和y=-x,解得(舍去)或所以交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(-,).所以ρ=2.因?yàn)辄c(diǎn)(-,2)在第二象限,所以θ=, ∴交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. (法二)由cos θ+sin θ=0得tan θ=-1,因?yàn)?≤θ≤π,所以θ=,故交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 答案: 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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