《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第二章 第十節(jié)函數(shù)與方程 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第二章 第十節(jié)函數(shù)與方程 文(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第十節(jié) 函數(shù)與方程
1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).
2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.
知識(shí)梳理
一、函數(shù)的零點(diǎn)
1.定義:一般的,如果函數(shù)y=f(x)在________________,即 f(a)=0,則__________叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).
2.函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理:若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是________,并且在______________,即__________________,則函數(shù)y=f(x)在________________,即相應(yīng)的方
2、程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
3.函數(shù)的零點(diǎn)具有下列性質(zhì):當(dāng)它________(不是偶次零點(diǎn))時(shí)函數(shù)值________,相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).
二、二分法
1.定義:對(duì)于區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷的,且f(a) f(b)<0 的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),從而得到零點(diǎn)近似值的方法,叫做二分法.
2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟.
第一步:________________________________________
第二步:__________________________
3、______________
第三步:________________________________________
(1)若_________,則x1就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)若________________,則令b=x1;
(3)若________________,則令a=x1.
第四步:判斷是否達(dá)到精確度ε,即若________,則得到零點(diǎn)近似值a(或b).否則,重復(fù)第二、三、四步.
注意:(1)在二分法求方程解的步驟中,初始區(qū)間可以選的不同,不影響最終計(jì)算結(jié)果,所選的初始區(qū)間的長度盡可能短,但也要便于計(jì)算;
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(2)二分法的條件f(a)f(b)<
4、0表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn).
三、一元二次方程根的分布問題
關(guān)鍵是抓住方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)、判別式及對(duì)稱軸的位置這三點(diǎn)來考慮.
二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件:
(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比r小?af(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r?
(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根?
(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根?f(p)f(q)<0或f(p)=0或f(q)=0,檢驗(yàn)另一根在(p,q)內(nèi)成立.
一、1.實(shí)數(shù)a處的
5、值等于零 a
2.連續(xù)不間斷的 區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反 f(a)f(b)<0 區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)
3.通過零點(diǎn) 變號(hào)
二、2.確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)f(b)<0,給定精確度ε 求區(qū)間 (a,b)的中點(diǎn)x1 計(jì)算f(x1)
(1)f(x1)=0 (2)f(a)f(x1)< 0 (3)f(x1)f(b)<0 |a-b|<ε
基礎(chǔ)自測
1.根據(jù)表中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個(gè)根所在的區(qū)間為( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
6、
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
解析:設(shè)f(x)=ex-(x+2),則由題設(shè)知f(1)=-0.28<0,f(2)=3.39>0,故有一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi).
答案:C
2.(2013河北名師俱樂部一模)下列函數(shù)中,在(-1,1)上有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是( )
A.y=log2(x+2)
B.y=2x-1
C.y=x2-
D.y=-x2
解析:在(-1,1)上遞增的函數(shù)只有y=log2(x+2)和y=2x-1,又y=log2(x+2)的零點(diǎn)為x=-1,y=2x-1的零點(diǎn)為x=0.故選B.
答案
7、:B
3.如果函數(shù)f(x)=x2+mx+m+2的一個(gè)零點(diǎn)是0,則另一個(gè)零點(diǎn)是________.
解析:依題意知:m=-2.∴f(x)=x2-2x.
∴方程x2-2x=0的另一個(gè)根為2,即函數(shù)f(x)的另一個(gè)零點(diǎn)是2.
答案:2
4.方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________________________________.
解析:(法一)利用韋達(dá)定理.
設(shè)方程x2-2ax+4=0的兩根為x1,x2,
則解得2≤a<.
(法二)利用二次函數(shù)圖象的特征.
設(shè)f(x)=x2-2ax+4,則解得2≤a<.
答
8、案:
1.(2012湖北卷)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:由f(x)=0,得x=0或cos x2=0,即x2=kπ+,k∈Z.又∵x∈[0,4],∴k=0,1,2,3,4.∴共有6個(gè)解.故選C.
答案:C
2.(2013天津卷)函數(shù)f(x)=2x|log0.5 x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:2x|log0.5x|-1=0?|log
9、0.5x|=?|log0.5x|=x,畫這兩個(gè)函數(shù)的圖象,由圖可知選項(xiàng)B正確.
答案:B
1.(2012東北三省四市教研協(xié)作體調(diào)研)若a>2,則函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:f′(x)=x2-2ax,由a>2可知,f′(x)在x∈(0,2)恒為負(fù),即f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減.又f(0)=1>0,f(2)=-4a+1<0,∴f(x)在(0,2)只有一個(gè)零點(diǎn).故選C.
答案:C
2.(2013湛江一模)函數(shù)f(x)=|x-2|-ln x在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由題意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞);
由函數(shù)零點(diǎn)的定義,f(x)在(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)即是方程|x-2|-lnx=0的根.
令y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象:
由圖得,兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
故方程有兩個(gè)根,即對(duì)應(yīng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故選C.
答案:C
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