2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第四章 第一節(jié)向量與向量的線性運(yùn)算 文

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1、 【金版學(xué)案】2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第四章 第一節(jié)向量與向量的線性運(yùn)算 文 近三年廣東高考中對(duì)本章考點(diǎn)考查的情況 年份 題號(hào) 賦分 所考查的知識(shí)點(diǎn) 2011 3 5 向量的坐標(biāo)形式、向量平行、參數(shù)確定 6 5 向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積的最大值(與線性規(guī)劃綜合) 2012 1 5 復(fù)數(shù)的乘、除法 3 5 向量的坐標(biāo)運(yùn)算 10 5 向量的夾角(與集合綜合) 1 5 復(fù)數(shù)的乘、除法 2013 3 5 復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模 10 5 向量的三角形法則、平面向量基本定理 本章主要包括兩個(gè)內(nèi)容:平面向量、

2、復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算. 1.平面向量的復(fù)習(xí),主要掌握以下幾點(diǎn): (1)平面向量的相關(guān)概念:主要有相等向量、相反向量、零向量、共線向量、向量的模、兩個(gè)向量的夾角等,這些概念是向量的基礎(chǔ). (2)平面向量的線性運(yùn)算:向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,要注意向量共線的充要條件的應(yīng)用. 2 / 12 (3)平面向量的基本定理:這個(gè)定理是平面向量的核心,有了這個(gè)定理,實(shí)現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)化運(yùn)算. (4)平面向量的數(shù)量積是平面向量的主要公式,利用這個(gè)公式,可以求出兩個(gè)向量的夾角,判斷兩個(gè)向量的垂直與平行. 2.復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí),主要掌握以下幾點(diǎn): (1)復(fù)數(shù)的概念:復(fù)數(shù)的定義,復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部

3、,復(fù)數(shù)的相等,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模. (2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算:復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,除法運(yùn)算是將分母實(shí)數(shù)化. (3)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義. 預(yù)測(cè)高考對(duì)平面向量的考查仍以小題考查重要知識(shí)點(diǎn),以中、低難度為主;在解答題中,會(huì)與三角函數(shù)、解三角形、解析幾何等結(jié)合綜合考查向量的應(yīng)用.對(duì)復(fù)數(shù)的考查,仍會(huì)以小題考查復(fù)數(shù)的概念與四則運(yùn)算,以容易題為主. 1.復(fù)習(xí)平面向量?jī)?nèi)容時(shí)要注意: (1)向量具有大小和方向兩個(gè)要素.用有向線段表示向量時(shí),與有向線段起點(diǎn)的位置沒有關(guān)系,同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量. (2)共線向量和平面向量的兩條基本定理,揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu),它們是進(jìn)一步研究向量

4、的基礎(chǔ). (3)向量的加、減、數(shù)乘是向量的線性運(yùn)算,其結(jié)果仍是向量.向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).向量的數(shù)量積,可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個(gè)向量的夾角,判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直. (4)向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算有異同點(diǎn),學(xué)習(xí)時(shí)要注意這一點(diǎn),如數(shù)量積不滿足結(jié)合律. (5)要注意向量在幾何、三角、物理學(xué)中的應(yīng)用. (6)平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算是高考的重點(diǎn),復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確的運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力. 2.對(duì)于復(fù)數(shù),《課標(biāo)》及《考綱》的要求有以下三點(diǎn):理解復(fù)數(shù)的基本概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件,會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.所以在復(fù)習(xí)中應(yīng)掌握好以下幾個(gè)方面: (

5、1)掌握好復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件. (2)熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除運(yùn)算法則.在運(yùn)算過程中要注意復(fù)數(shù)運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則的區(qū)別. 第一節(jié) 向量與向量的線性運(yùn)算 1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念. (1)了解向量的實(shí)際背景. (2)理解平面向量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義. (3)理解向量的幾何表示. 2.向量的線性運(yùn)算. (1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義. (2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義,理解兩個(gè)向量共線的含義. (3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 知識(shí)梳理 一、向

6、量的有關(guān)概念 1.平面向量. 平面內(nèi)既有大小又有方向的量叫做向量. 向量一般用a,b,c,……來表示,或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示,如.向量的大小即向量的模(長(zhǎng)度),記作||,向量a的大小,記作|a|. 向量不能比較大小,但向量的??梢员容^大小. 2.零向量. 長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量,記為0,其方向是任意的,0與任意向量平行.零向量a=0?|a|=0. 由于0的方向是任意的,且規(guī)定0平行于任何向量,故在有關(guān)向量平行(共線)的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件(注意“0”與“0”的區(qū)別). 3.單位向量. 模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量.向量a0為單位向

7、量?|a0|=1. 4.平行向量(共線向量). 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,記作a∥b.由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量),平行向量總可以平移到同一直線上,故平行向量也稱為共線向量.  數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,只有大小、方向兩個(gè)要素,起點(diǎn)可以任意選取,這里必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義,要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的. 5.相等向量. 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合,記為a=b. 二、向量的運(yùn)算 1.向量的加法. 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法. 設(shè)=a,=b

8、,則a+b=+=. 規(guī)定:(1)0+a=a+0=a; (2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律. 向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加:+++…++=,但這時(shí)必須“首尾相連”. 2.向量的減法. (1)相反向量:與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,記作-a.零向量的相反向量仍是零向量. 關(guān)于相反向量有:①-(-a)=a;②a+(-a)=(-a)+a=0;③若a,b互為相反向量,則a=-b,b=-a,a+b=0. (2)向量的減法:向量a加上b的相反向量叫做a與b的差,記作a-b=a+(-b).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法. (3)作圖法:a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向

9、a的終點(diǎn)的向量(a,b有共同起點(diǎn)). 3.向量加、減法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”. (1)用平行四邊形法則時(shí),兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的,和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線,而差向量是另一條對(duì)角線,方向是從減向量指向被減向量. (2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”,由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和,差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn). 當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí),用平行四邊形法則;當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí),用三角形法則. 4.實(shí)數(shù)與向量的積. (1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作λa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: ①=; ②當(dāng)

10、λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng) λ=0時(shí),λa=0,方向是任意的. (2)數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律. 三、兩個(gè)向量共線定理 向量b與非零向量a共線?有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λ a. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.(2012·惠州調(diào)研)已知向量a,b,則“a∥b”是“a+b=0”的________條件(  ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 解析:“a∥b”只要求兩向量共線,而“a+b=0”要求反向共線且模相等.故選B. 答案:B 2

11、.(2013·增城下學(xué)期調(diào)研)設(shè)M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn),則+++=(  ) A. B.2 C.3 D.4 解析:在△OAC中,M為AC中點(diǎn),根據(jù)平行四邊形法則,有+=2,同理有+=2,所以+++=4.故選D. 答案:D 3.如圖, e1,e2為互相垂直的單位向量,則向量a-b可表示為________________. 解析:如圖所示,a-b=e1-3e2. 答案:e1-3e2 4.(2013·江蘇南通高三期末考試)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊,且3a+4b+

12、5c=0,則abc=________. 解析:由3a+4b-5c(+)=0. 得3a+4b-5c-5c=0. 即(3a-5c)+(4b-5c)=0. 因?yàn)榕c不共線,所以3a-5c=0,且4b-5c=0. 所以abc=201512. 答案:201512 1.如圖,正六邊形ABCDEF中,++=(  ) A.0     B. C. D. 解析:++=++=.故選D. 答案:D 2.(2013·四川卷)如圖, 在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,+=λ,則λ=________. 解析:由于

13、ABCD為平行四邊形,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, 所以+==2,所以λ=2. 答案:2 1.(2012·揭陽(yáng)模擬)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,且++=0,則△ABC的內(nèi)角A等于(  ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析:由++=0得+=,由O為△ABC外接圓的圓心,結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形,且∠CAO=60°,從而△ABC的內(nèi)角∠A=30°.故選A. 答案:A 2.(2012·華南師大附中綜合測(cè)試)在平行四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是CD和BC的中點(diǎn),若=λ+γ,其中λ,γ∈R,則λ+γ=________. 解析:由向量加法的三角形法則得=+=(-)+(-)=(+)-(+)=(+)-(+)=(+)-, 所以=(+),所以λ+γ=+=. 答案: 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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