2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第五章 第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文

第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 1.理解等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題. 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 知識梳理 一、等比數(shù)列的定義 一般的，一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個常數(shù)，即＝q(n∈N*)，則這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 二、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則an＝a1qn－1. 三、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 當(dāng)q＝1時，Sn＝na1， 當(dāng)q≠1時，Sn＝＝. 四、等比中項(xiàng) 如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G＝. 五、等比數(shù)列的主要性質(zhì) 1．a(chǎn)n＝amqn－m(n，m∈N*)． 2．對于任意正整數(shù)m，n，r，s，只要滿足m＋n＝r＋s，則aman＝aras. 3．對于任意正整數(shù)p，r，s，如果p＋r＝2s，則apar＝a2s. 4．對任意正整數(shù)n>1，有a2n＝an－1an＋1. 5．對于任意非零實(shí)常數(shù)b，{ban}也是等比數(shù)列． 6．若{an}，{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列． 1 / 6 7．等比數(shù)列中，如果an>0，則{logaan}是等差數(shù)列． 8．若數(shù)列{logaan}成等差數(shù)列，則{an}成等比數(shù)列． 9．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比數(shù)列． 10．若數(shù)列是等比數(shù)列，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比數(shù)列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)． 基礎(chǔ)自測 1．(2012北京西城區(qū)模擬) 若數(shù)列{an}是公比為4的等比數(shù)列，且a1＝2，則數(shù)列{log2an}是(　A　) A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為lg 2的等差數(shù)列 C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為lg 2的等比數(shù)列 2．(2013廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝_______ 解析：顯然a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15. 答案：15 3．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)(，)(n≥2)在直線x－y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________. 解析：點(diǎn)(，)在直線x－y＝0上， ∴－＝0，∴＝， ∴＝()n－1＝()n，∴an＝2n， ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 1．(2013大綱全國卷) 已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和等于(　　) A．－6(1－3－10) B. (1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 解析：由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否則a2＝0)且＝－，所以數(shù)列{an}是公比為－的等比數(shù)列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3＝3(1－3－10)． 答案：C 2．(2013陜西卷)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. (1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式； (2)若a1＝1，q≠0且對所有正整數(shù)n, 有Sn＝. 判斷{an}是否為等比數(shù)列. 解析：(1) 設(shè)公差為d，則an＝a1＋(n－1)d， ?2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an－1＋a1)＋(an＋a1) ?2Sn＝n(a1＋an) ?Sn＝ ＝n. (2)a1＝1，q≠0由題意知q≠1. ?n∈N*，Sn＝?an＋1＝ Sn＋1－Sn＝－＝＝qn， an＝?an＝qn－1 ，n∈N*. 所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1，公比q≠1的等比數(shù)列. 1．(2012衡陽八中月考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5，則a7a8a9＝(　　) A．10　 B．2 C．8　 D. 解析：因?yàn)閍1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，公比為，所以a7a8a9＝(a1a2a3)q2＝10.故選A. 答案：A 2．(2013遼寧沈陽第二次質(zhì)檢文改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中a1＝1，Sn＝3Sn－1＋1(n＞1，n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. 解析：(1)由Sn＝3Sn－1＋1(n＞1，n∈N*)，得Sn＋1＝3Sn＋1， 所以Sn＋1－Sn＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1＝3an， 所以＝3(n＞1，n∈N*)． 又a1＝1，得S2＝3a1＋1＝a1＋a2, 所以a2＝3, 所以＝3. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝3n－1. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 所以Tn＝＝. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！