2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)名師講義 第五章 第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文

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1、 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 1.理解等比數(shù)列的概念. 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題. 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 知識(shí)梳理 一、等比數(shù)列的定義 一般的,一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù),即=q(n∈N*),則這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 二、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則an=a1qn-1. 三、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1, 當(dāng)q≠1時(shí),S

2、n==. 四、等比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng),即G=. 五、等比數(shù)列的主要性質(zhì) 1.a(chǎn)n=amqn-m(n,m∈N*). 2.對于任意正整數(shù)m,n,r,s,只要滿足m+n=r+s,則aman=aras. 3.對于任意正整數(shù)p,r,s,如果p+r=2s,則apar=a2s. 4.對任意正整數(shù)n>1,有a2n=an-1an+1. 5.對于任意非零實(shí)常數(shù)b,{ban}也是等比數(shù)列. 6.若{an},{bn}是等比數(shù)列,則{anbn}也是等比數(shù)列. 1 / 6 7.等比數(shù)列中,如果an>0,則{logaan}是等差數(shù)列. 8.若數(shù)列{l

3、ogaan}成等差數(shù)列,則{an}成等比數(shù)列. 9.若數(shù)列是等比數(shù)列,則數(shù)列{a2n},{a2n-1},{a3n-1},{a3n-2},{a3n}等都是等比數(shù)列. 10.若數(shù)列是等比數(shù)列,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比數(shù)列,所以(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m). 基礎(chǔ)自測 1.(2012北京西城區(qū)模擬) 若數(shù)列{an}是公比為4的等比數(shù)列,且a1=2,則數(shù)列{log2an}是( A ) A.公差為2的等差數(shù)列 B.公差為lg 2的等差數(shù)列 C.公比為2的等比數(shù)列 D.公比為lg 2的等比數(shù)列 2.(2013廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為

4、-2的等比數(shù)列,則a1+|a2|+a3+|a4|=_______ 解析:顯然a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 答案:15 3.在正項(xiàng)數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(,)(n≥2)在直線x-y=0上,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________. 解析:點(diǎn)(,)在直線x-y=0上, ∴-=0,∴=, ∴=()n-1=()n,∴an=2n, ∴Sn==2n+1-2. 答案:2n+1-2 1.(2013大綱全國卷) 已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=0,a2=-,則{an}的前10項(xiàng)和等于(  ) A.-6(1

5、-3-10) B. (1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 解析:由3an+1+an=0,得an≠0(否則a2=0)且=-,所以數(shù)列{an}是公比為-的等比數(shù)列,代入a2可得a1=4,故S10==3=3(1-3-10). 答案:C 2.(2013陜西卷)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. (1)若{an}為等差數(shù)列,推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式; (2)若a1=1,q≠0且對所有正整數(shù)n, 有Sn=. 判斷{an}是否為等比數(shù)列. 解析:(1) 設(shè)公差為d,則an=a1+(n-1)d, ?2Sn=(a1+an)+(a2+a

6、n-1)+…+(an-1+a1)+(an+a1) ?2Sn=n(a1+an) ?Sn= =n. (2)a1=1,q≠0由題意知q≠1. ?n∈N*,Sn=?an+1= Sn+1-Sn=-==qn, an=?an=qn-1 ,n∈N*. 所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1,公比q≠1的等比數(shù)列. 1.(2012衡陽八中月考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a1a2a3=5,a4a5a6=5,則a7a8a9=(  ) A.10  B.2 C.8  D. 解析:因?yàn)閍1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比數(shù)列,公比為,所以a7a8a

7、9=(a1a2a3)q2=10.故選A. 答案:A 2.(2013遼寧沈陽第二次質(zhì)檢文改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=1,Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn. 解析:(1)由Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*),得Sn+1=3Sn+1, 所以Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1),即an+1=3an, 所以=3(n>1,n∈N*). 又a1=1,得S2=3a1+1=a1+a2, 所以a2=3, 所以=3. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an=3n-1. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列, 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列, 所以Tn==. 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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