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課時限時檢測(二十三) 正弦定理和余弦定理
(時間:60分鐘 滿分:80分)命題報告
考查知識點(diǎn)及角度
題號及難度
基礎(chǔ)
中檔
稍難
正弦定理
1,7
余弦定理
2
8
判斷三角形形狀
5
10
求三角形的面積
4
11
綜合應(yīng)用
3
6,9
12
一、選擇題(每小題5分,共30分)
1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.
若acos A=bsin B,則sin Acos A+cos2B=( )
A.- B. C.-1 D.1
【解析】 由a
2、cos A=bsin B得sin Acos A=sin2B,
∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.
【答案】 D
2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,則A的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由正弦定理得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,則cos A≥.因?yàn)?<A<π,所以0<A≤.
【答案】 C
3.若△ABC中,6sin A=4sin B=3sin C,則cos B=( )
A. B.
C. D.
【解析】 由正弦定理得6a=4
3、b=3c,所以b=a,c=2a.
所以cos B===.
【答案】 D
4.(2013·課標(biāo)全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為( )
A.2+2 B.+1
C.2-2 D.-1
【解析】 ∵B=,C=,∴A=π-B-C=π--=.
由正弦定理=,得=,
即=,
∴c=2.
∴S△ABC=bcsin A=×2×2sin =+1.
故選B.
【答案】 B
5.(2014·濰坊模擬)在△ABC中,內(nèi)角A、B的對邊分別是a、b,若=,則△ABC為( )
A.
4、等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】 法一 ∵==,
∴sin Acos A=sin Bcos B,
∴sin 2A=sin 2B,
∴2A=2B,或2A+2B=π,
∴A=B或A+B=.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
法二 ∵==,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2).
∴a2c2-a4=b2c2-b4.
即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0.
∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0.
即a=b或a2+b2=c2.
即△ABC為等腰三角形或直角三角形.
【答案】 C
6.(2013&
5、#183;課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b=( )
A.10 B.9
C.8 D.5
【解析】 由23cos2A+cos 2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,
解得cos A=±.
∵A是銳角,∴cos A=.
又a2=b2+c2-2bccos A,
∴49=b2+ 36-2×b×6×,
∴b=5或b=-.
又∵b>0,∴b=5.
【答案】 D
二、填空題(每小題5分,共15分)
7.(2012·北京高考)
6、在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,則∠C的大小為________.
【解析】 在△ABC中,由正弦定理可知=,
即sin B===.
又∵a>b,∴∠B=.
∴∠C=π-∠A-∠B=.
【答案】
8.(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,則角C=________.
【解析】 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得a2+b2-c2=-ab,則cos C==-.
又因?yàn)榻荂為△ABC的內(nèi)角,所以C=.
【答案】
9.(2013·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊
7、的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=________.
【解析】 由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因?yàn)閎+c=2a,
所以a=b,c=b,
所以cos C===-.因?yàn)镃∈(0,π),所以C=.
【答案】
三、解答題(本大題共3小題,共35分)
10.(10分)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且b2+c2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B·sin C=sin2A,試判斷△ABC的形狀.
【解】 (1)由已知得cos A===,
又∠A是△ABC的內(nèi)角,∴A=.
(2)
8、由正弦定理,得bc=a2,又b2+c2=a2+bc,∴b2+c2=2bc.
∴(b-c)2=0,即b=c.又A=,∴△ABC是等邊三角形.
11.(12分)(2014·威海期中)△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin A+bsin B-csin C=asin B.
(1)求角C;
(2)若a+b=5,S△ABC=,求c的值.
【解】 (1)根據(jù)正弦定理==,原等式可轉(zhuǎn)化為:
a2+b2-c2=ab,
cos C==,
∴C=60°.
(2)S△ABC=absin C=ab·=,
∴ab=6,
c2=a2+b2-2ab
9、83;cos C=(a+b)2-3ab=25-18=7,
∴c=.
12.(13分)(2013·天津高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.
(1)求b的值;
(2)求sin的值.
【解】 (1)在△ABC中,由=,可得bsin A=asin B.
又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,
故c=1.
由b2=a2+c2-2accos B,cos B=,可得b=.
(2)由cos B=,得sin B=,
進(jìn)而得
cos 2B=2cos2B-1=-,
sin 2B=2sin BcosB=,
所以sin(2B-)=sin 2Bcos -cos 2Bsin
=.
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