高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第八章 :第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系突破熱點(diǎn)題型

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1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△ 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 考點(diǎn)一 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系   [例1] (1)(2013陜西高考)已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是(  ) A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定 (2)(2014南昌模擬)若過點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________. [自主解答] (1)因?yàn)镸(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圓心O到直線

2、ax+by=1的距離d==<1,所以直線與圓相交. (2)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2+(y+1)2=16-k2, 所以16-k2>0,解得-0,即(k-2)(k+3)>0, 解得k>2或k<-3, 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪. [答案] (1)B (2)∪ 【互動探究】 在本例(2)中的條件“總可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”,結(jié)果如何? 解:依題意知點(diǎn)(1,2)應(yīng)在圓上或圓的內(nèi)部, 所以有 解得-3≤k≤2.      【方法規(guī)律】 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系

3、的方法 (1)幾何法:①明確圓心C的坐標(biāo)(a,b)和半徑r,將直線方程化為一般式;②利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d;③比較d與r的大小,寫出結(jié)論. (2)代數(shù)法:①直線方程與圓的方程聯(lián)立,消去一個變量;②判斷二次方程根的個數(shù)(Δ與0的關(guān)系);③得出結(jié)論. 2.圓與圓的位置關(guān)系 判斷圓與圓的位置關(guān)系時,一般用幾何法,其步驟是: (1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長; (2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d,求r1+r2,|r1-r2|; (3)比較d,r1+r2,|r1-r2|的大小,寫出結(jié)論. 1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(  ) A.

4、相切 B.相交但直線不過圓心 C.直線過圓心 D.相離 解析:選B 法一:由 消去y,整理得x2+x=0, 因?yàn)棣ぃ?2-410=1>0,所以直線與圓相交. 又圓x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(0,0),且0≠0+1,所以直線不過圓心. 法二:圓x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑長為1,則圓心到直線y=x+1的距離d==. 因?yàn)?<<1,所以直線y=x+1與圓x2+y2=1相交但直線不過圓心. 2.圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切線有(  ) A.1條 B.2條 C.3條

5、 D.4條 解析:選D 圓C1:(x+1)2+(y+1)2=4, ∴圓心C1(-1,-1),半徑長r1=2; 圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1, ∴圓心C2(2,1),半徑長r2=1. ∴d==,r1+r2=3, ∴d>r1+r2,∴兩圓外離,[來源:] ∴兩圓有4條公切線. 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的弦長問題   [例2] (1)(2013安徽高考)直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為(  ) A.1 B.2 C.4 D.4 (2)(2013江西高考)過點(diǎn)(,0)引直線l與曲線

6、y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于(  ) A. B.- C. D.- [自主解答] (1)因?yàn)閳A心(1,2)到直線x+2y-5+=0的距離d==1,且圓的半徑r=. 所以所得弦長=2=4. [來源:] (2)由于y=,即x2+y2=1(y≥0),直線l與x2+y2=1(y≥0)交于A,B兩點(diǎn),如圖所示,S△AOB=11sin∠AOB≤,且當(dāng)∠AOB=90時,S△AOB取得最大值,此時AB=,點(diǎn)O到直線l的距離為,則∠OCB=30,所以直線l的傾斜角為150,則斜率為-. [答案] (1)C (

7、2)B 【方法規(guī)律】 計算直線被圓截得的弦長的常用方法 (1)幾何方法 運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑 構(gòu)成的直角三角形計算. (2)代數(shù)方法 運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式 |AB|=|xA-xB|=. 1.直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長為________. 解析:法一:幾何法:圓心到直線的距離為d==,圓的半徑r=2,所以弦長l=2=2=2. 法二:代數(shù)法:聯(lián)立直線和圓的方程 消去y可得x2-2x=0,所以直線和圓的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,2),(0,0),弦長為=2. 答案:2 2.(2014濟(jì)南模擬)已知圓C過點(diǎn)(1,0)

8、,且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C所截得的弦長為2,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________. 解析:由題意,設(shè)所求的直線方程為x+y+m=0,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),則由題意知2+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上,所以a=3,故圓心坐標(biāo)為(3,0).因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直線方程為x+y-3=0.[來源:] 答案:x+y-3=0 高頻考點(diǎn)[來源:] 考點(diǎn)三 圓的切線問題   1.與圓有關(guān)的切線問題,是近年來高考在本節(jié)命題的一個熱點(diǎn)

9、問題,多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn),試題難度不大,多為中、低檔題目. 2.高考對圓的切線問題的考查主要有以下幾個命題角度: (1)過圓上一點(diǎn)求圓的切線方程; (2)過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程; (3)與切線長有關(guān)的問題; (4)與切線夾角有關(guān)的問題. [例3] (1)(2012江西高考)過直線x+y-2=0上點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________. (2)(2013江蘇高考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. ①若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求

10、切線的方程; ②若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. [自主解答] (1)如圖所示, |OP|==2, 設(shè)P(x,y), 則? 故P(,). (2)①由題意知,圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在. 設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3, 依題意知,=1, 所以k=0或-, 因此,切線方程為y=3或y=-x+3, 即切線方程為y-3=0或3x+4y-12=0. ②因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上, 所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 設(shè)點(diǎn)M(x,y),

11、因?yàn)镸A=2MO, 所以=2, 化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4, 所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上. 由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則|2-1|≤CD≤2+1, 即1≤≤3. 由5a2-12a+8≥0,得a∈R; 由5a2-12a≤0,得0≤a≤. 所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,. [答案] (1)(,) 與圓的切線有關(guān)的問題的常見類型與解題策略 (1)過圓上一點(diǎn)求圓的切線方程.首先考慮切線斜率不存在時,是否符合要求,其次考慮斜率存在時,由直線與圓相切,求出斜率k,進(jìn)而得出切線方程. (2)過圓

12、外一點(diǎn)求圓的切線方程.方法同上. (3)與切線長有關(guān)的問題.解題時應(yīng)注意圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直,從而得出一個直角三角形,然后求解. (4)與切線有關(guān)的夾角問題.與(3)相同,利用直角三角形解決問題. 1.(2014大慶模擬)已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為   (  ) A. x2+y2-2x-3=0 B. x2+y2+4x=0[來源:數(shù)理化網(wǎng)] C. x2+y2+2x-3=0 D. x2+y2-4x=0 解析:選D 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a>0), 又因?yàn)橹本€3x+4y+4=0與圓C相

13、切, 所以=2, 解得a=2或-(舍), 因此圓的方程為(x-2)2+y2=22, 即x2+y2-4x=0. 2.(2014豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為(  ) A.(x-2)2+2=9 B.(x-3)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y-3)2=2 D.(x-)2+(y-)2=9 解析:選A 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)是(a>0),則點(diǎn)(a>0)到直線3x+4y+3=0的距離d==≥=3,當(dāng)且僅當(dāng)3a=,即a=2時取等號,因此所求圓的圓心坐標(biāo)是,半徑是3,圓的方程為(x-2)2+2=9. ———

14、————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 2種方法——解決直線與圓位置關(guān)系的兩種方法  見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律]. 3個注意點(diǎn)——直線與圓相切、相交的三個注意點(diǎn)  (1)涉及圓的切線時,要注意過切點(diǎn)的半徑與切線垂直; (2)當(dāng)直線與圓相交時,半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用,解題時要注意把它與點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用; (3)判斷直線與圓相切,特別是過圓外一點(diǎn)求圓的切線時,應(yīng)有兩條.在解題中,若只求得一條,則說明另一條的斜率不存在,這一點(diǎn)經(jīng)常忽視,應(yīng)注意檢驗(yàn)、防止出錯. 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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