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課時限時檢測(二十七) 平面向量的數(shù)量積
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
數(shù)量積的運算
1,3,8
5
應用數(shù)量積求夾角、求模
7
6
應用數(shù)量積垂直的條件求參數(shù)
2
11
綜合應用
4
9,10
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2013遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為( )
A. B.
C. D.
【解析】 ?。?3，－4)，則與其同方向的單位向量e＝＝(3，－
2、4)＝.
【答案】 A
2．(2013大綱全國卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【解析】 因為m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)(m－n)＝(2λ＋3,3)(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
【答案】 B
3．(2014聊城模擬)若向量a, b，c滿足a∥b且a⊥c，則c(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
【解析】 ∵a⊥c，∴ac＝0，又∵a∥b，則設b＝λa，
3、
∴c(a＋2b)＝(1＋2λ)ca＝0.
【答案】 D
4．(2014威海模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60，則|2a－b|＝( )
A．2 B．4
C．2 D．8
【解析】 ∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60，
∴ab＝|a||b|cos 60＝2＝1.
∴|2a－b|＝＝
＝2.
【答案】 A
5．(2012天津高考)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若＝－，則λ＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 ?。?＋)(＋)＝[＋(1－λ)](＋λ)＝－，所以4λ2－4λ
4、＋1＝0，所以λ＝.
【答案】 A
6．(2014大連模擬)已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，則a與b的夾角為( )
A. B.
C. D.
【解析】 因為(a＋b)⊥，所以a2－b2－ab＝0.
又因為|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以4－－ab＝0，所以ab＝1.所以ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a與b的夾角范圍為[0，π]，所以a與b的夾角為.
【答案】 A
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則向量b－3a與向量a夾角的余弦值為_____
5、___．
【解析】 ∵b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，
(b－3a)a＝(－2,1)(1,0)＝－2，
∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.
【答案】?。?
8．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60，則a＋b在a方向上的投影為________．
【解析】 (a＋b)a＝a2＋ab＝1＋12cos 60＝2，則a＋b在a方向上的投影為＝2.
【答案】 2
9．(2014蘭州模擬)設i、j是平面直角坐標系(坐標原點為O)內分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，則△OAB的面積等于________．
【解析】 由題
6、意知＝(－2,1)，＝(4,3)，則||＝，||＝5，
＝－24＋13＝－5，∴cos∠AOB＝＝＝－，
∴sin∠AOB＝，∴S△OAB＝||||sin∠AOB
＝5＝5.
【答案】 5
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)(2014溫州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，
(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；
(2)若2a＋b與a－b的夾角是銳角，求x的取值范圍．
【解】 (1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)
∴2a＋b＝(2＋x,5)，
a－b＝(1－x,1)．
由(2a＋b)∥(a－b)可知
2＋x＝5－5x.
解得x＝.
7、
(2)由題意可知
(2a＋b)(a－b)＞0且2a＋b與a－b不共線
∴
∴＜x＜且x≠.
即所求x的取值范圍是
∪.
圖4－3－1
11．(12分)(2014德州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，點M滿足＝，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖4－3－1.
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在實數(shù)λ，使(－λ)⊥，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．
【解】 (1)由題意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)．
∴cos∠OCM＝cos〈，
8、〉＝＝
(2)設P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)
－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)
若(－λ)⊥，則(－λ)＝0
即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝，則λ不存在，若t≠，則λ＝
∵t∈∪，
故λ∈(－∞，－12)∪.
12．(13分)(2014揚州模擬)已知點A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)．
(1)若||＝||，求的值；
(2)若(＋2)＝1，其中O為坐標原點，求sin θcos θ的值．
【解】 ∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)，
∴＝(2sin θ－1，cos θ)，＝(2sin θ，cos θ－1)．
(1)||＝||，
∴＝，
化簡得2sin θ＝cos θ，
所以tan θ＝，∴＝＝＝－5.
(2)＝(1,0)，＝(0,1)，＝(2sin θ，cos θ)，
∴＋2＝(1,2)，
∵(＋2)＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.
∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－.
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高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第4章】課時限時檢測27
