高考數(shù)學浙江理科一輪【第五章】平面向量 第五章 專題三

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 專題三 高考中的數(shù)列問題 1. 公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且-3a1,-a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4等于 (  ) A.-20 B.0 C.7 D.40 答案 A 解析 記等比數(shù)列{an}的公比為q,其中q≠1, 依題意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=-3a1+a1q2≠0. 即q2+2q-3=0,(q+3)(q-1)=0, 又q≠1,因此有q=-3,S4==-20,選A. 2. 等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則

2、log3a1+log3a2+…+log3a10等于 (  ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 答案 B 解析 等比數(shù)列{an}中,a5a6=a4a7, 又因為a5a6+a4a7=18,∴a5a6=9, log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10) =log3(a5a6)5=5log3(a5a6)=5log39=10. 3. 若正項數(shù)列{an}滿足lg an+1=1+lg an,且a2 001+a2 002+a2 003+…+a2 010=2 013,則a2 011+a2 012+a2 013+…+a2 02

3、0的值為 (  ) A.2 0131010 B.2 0131011 C.2 0141010 D.2 0141011 答案 A 解析 由條件知lg an+1-lg an=lg =1,即=10,所以{an}為公比是10的等比數(shù)列.因為(a2 001+…+a2 010)q10=a2 011+…+a2 020,所以a2 011+…+a2 020=2 0131010,選A. 4. 已知數(shù)列{an}滿足an=1+2+22+…+2n-1,則{an}的前n項和Sn=________. 答案 2n+1-2-n 解析 ∵an=1+2+22+…+2n-1==2n-

4、1, ∴Sn=(21+22+…+2n)-n =-n=2n+1-2-n. 5. 把一數(shù)列依次按第一個括號內(nèi)一個數(shù),第二個括號內(nèi)兩個數(shù),第三個括號內(nèi)三個數(shù),第四個括號內(nèi)一個數(shù),…循環(huán)分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為________. 答案 392 解析 將三個括號作為一組,則由50=163+2,知第50個括號應為第17組的第二個括號,即第50個括號中應是兩個數(shù).又因為每組中含有6個數(shù),所以第48個括號的最末一個數(shù)為數(shù)列{2n-1}的第166=96項,第50個括號的第一個數(shù)應為數(shù)列{2n-1}

5、的第98項,即為298-1=195,第二個數(shù)為299-1=197,故第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為195+197=392.故填392. 題型一 等差、等比數(shù)列的綜合問題 例1 在等差數(shù)列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)令bn=2an-10,證明:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列; (3)求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn. 思維啟迪 (1)設出數(shù)列{an}的通項公式,結合已知條件列方程組即可求解; (2)由(1)寫出bn的表達式,利用定義法證明; (3)寫出Tn的表達式,考慮用錯位相減法求解. (1)解 由an=a1+(n-1)d,a10=3

6、0,a20=50, 得方程組, 解得. 所以an=12+(n-1)2=2n+10. (2)證明 由(1),得bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n, 所以==4. 所以{bn}是首項為4,公比為4的等比數(shù)列. (3)解 由nbn=n4n,得 Tn=14+242+…+n4n, ① 4Tn=142+…+(n-1)4n+n4n+1, ② ①-②,得-3Tn=4+42+…+4n-n4n+1 =-n4n+1. 所以Tn=. 思維升華 (1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列,其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列. (2)等差數(shù)列和

7、等比數(shù)列可以相互轉化,若數(shù)列{bn}是一個公差為d的等差數(shù)列,則{abn}(a>0,a≠1)就是一個等比數(shù)列,其公比q=ad;反之,若數(shù)列{bn}是一個公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列,則{logabn}(a>0,a≠1)就是一個等差數(shù)列,其公差d=logaq.  數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2且Sn=Sn-1+2n(n≥2,n∈N*). (1)求Sn; (2)是否存在等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在,求出數(shù)列{bn}的通項公式;若不存在,說明理由. 解 (1)因為Sn=Sn-1+2n, 所以有Sn-Sn-1=2n對n≥2,n∈N*成立. 即

8、an=2n對n≥2,n∈N*成立, 又a1=S1=21,所以an=2n對n∈N*成立. 所以an+1-an=2對n∈N*成立, 所以{an}是等差數(shù)列, 所以有Sn=n=n2+n,n∈N*. (2)存在. 由(1)知,an=2n對n∈N*成立, 所以有a3=6,a9=18,又a1=2, 所以有b1=2,b2=6,b3=18,則==3, 所以存在以b1=2為首項,以3為公比的等比數(shù)列{bn}, 其通項公式為bn=23n-1. 題型二 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 例2 已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a3+a6=27. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)記數(shù)列

9、{an}的前n項和為Sn,且Tn=,若對于一切正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求實數(shù)m的取值范圍. 思維啟迪 (1)利用已知條件求出an的公差與首項,可得an; (2)求出Sn后,利用Tn的單調性求Tn的最大值,可解得m的取值范圍. 解 (1)設公差為d,由題意得: 解得,∴an=3n. (2)∵Sn=3(1+2+3+…+n)=n(n+1), ∴Tn=, ∴Tn+1-Tn=-=, ∴當n≥3時,Tn>Tn+1,且T1=1

10、題 ①以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題,多與數(shù)列求和相聯(lián)系,最后利用函數(shù)的單調性求解. ②以數(shù)列為背景的不等式證明問題,多與數(shù)列求和有關,有時利用放縮法證明.  (2013江西)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an; (2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<. (1)解 由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0, 得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0, 由于{an}是正項數(shù)列,所以Sn+1>0. 所以Sn=n2+n. n≥2時,an=Sn-Sn-1

11、=2n, n=1時,a1=S1=2適合上式.∴an=2n. (2)證明 由an=2n得bn== =. Tn= =<=. 題型三 數(shù)列的實際應用問題 例3 某市2013年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房,預計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底: (1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2013年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米? (2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?(參考數(shù)據(jù):1.084≈1.36,1

12、.085≈1.47,1.086≈1.59) 思維啟迪 關鍵信息:①每年新建住房面積平均比上一年增長8%,說明新建住房面積構成等比數(shù)列模型;②中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米,說明中低價房的面積構成等差數(shù)列模型. 解 (1)設中低價房面積形成數(shù)列{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50, 則Sn=250n+50=25n2+225n, 令25n2+225n≥4 750, 即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù),∴n≥10. ∴到2022年底,該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米. (2)設新建住房面積形成數(shù)列{bn},由題意可

13、知{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400(1.08)n-1. 由題意可知an>0.85bn, 有250+(n-1)50>400(1.08)n-10.85. 當n=5時,a5<0.85b5,當n=6時,a6>0.85b6, ∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6. ∴到2018年底,當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 思維升華 解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數(shù)學問題,通過反復讀題,列出有關信息,轉化為數(shù)列的有關問題,這恰好是數(shù)學實際應用的具體體現(xiàn).  (1)今年“十一”期間,北京十家重點公園將舉行免費游園活動,北海公園

14、免費開放一天,早晨6時30分有2人進入公園,接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來,第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來,第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來,第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來……按照這種規(guī)律進行下去,到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是 (  ) A.211-47 B.212-57 C.213-68 D.214-80 答案 B 解析 由題意,可知從早晨6時30分開始,接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構成以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,出來的人數(shù)構成以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an,

15、第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn,則an=4 2n-1,bn=n,則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S=2+-=212-57. (2)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M,M的價值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年,每年初M的價值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價值為上年初的75%.則第n年初M的價值an=________. 答案 an= (時間:80分鐘) 1. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N),a1=,判斷與{an}是否為等差數(shù)列,并說明你的理由. 解 因為an=Sn-Sn-1(n≥2), 又

16、因為an+2SnSn-1=0, 所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2), 所以-=2(n≥2), 又因為S1=a1=, 所以是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列. 所以=2+(n-1)2=2n,故Sn=. 所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=, 所以an+1=, 而an+1-an=- ==. 所以當n≥2時,an+1-an的值不是一個與n無關的常數(shù),故數(shù)列{an}不是一個等差數(shù)列. 綜上,可知是等差數(shù)列,{an}不是等差數(shù)列. 2. 設數(shù)列{an}滿足a1=0且-=1. (1)求{an}的通項公式; (2)設bn=,記Sn=k,證明:Sn<1. (1)

17、解 由題設-=1, 即是公差為1的等差數(shù)列,又=1, 故=n.所以an=1-. (2)證明 由(1)得bn== =-,Sn=k= =1-<1. 3. 已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1為a(a∈R),且,,成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)對n∈N*,試比較+++…+與的大?。? 解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d, 由題意可知()2=, 即(a1+d)2=a1(a1+3d),從而a1d=d2. 因為d≠0,所以d=a1=a. 故通項公式an=na. (2)記Tn=++…+,因為a2n=2na, 所以Tn=(++…+) ==[1-(

18、)n]. 從而,當a>0時,Tn<;當a<0時,Tn>. 4. 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=10,an+1=9Sn+10. (1)求證:{lg an}是等差數(shù)列; (2)設Tn是數(shù)列{}的前n項和,求Tn; (3)求使Tn>(m2-5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合. (1)證明 依題意,得a2=9a1+10=100,故=10. 當n≥2時,an+1=9Sn+10,an=9Sn-1+10, 兩式相減得an+1-an=9an, 即an+1=10an,=10, 故{an}為等比數(shù)列,且an=a1qn-1=10n(n∈N*), ∴l(xiāng)g an=n.∴l(xiāng)g a

19、n+1-lg an=(n+1)-n=1, 即{lg an}是等差數(shù)列. (2)解 由(1)知,Tn=3[++…+] =3(1-+-+…+-)=. (3)解 ∵Tn=3-,∴當n=1時,Tn取最小值. 依題意有>(m2-5m),解得-1m≥2,m,k∈N*),使得b1、bm、bk成等比數(shù)列?若存在,求出所有符合條件的m、k的值;若不存在,請說明理由. 解 (1)設等

20、差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+d. 由已知,得 即, 解得所以an=a1+(n-1)d=n(n∈N*). (2)假設存在m、k(k>m≥2,m,k∈N*), 使得b1、bm、bk成等比數(shù)列,則b=b1bk, 因為bn==, 所以b1=,bm=,bk=, 所以()2=. 整理,得k=. 以下給出求m、k的方法: 因為k>0,所以-m2+2m+1>0, 解得1-

21、2Sn+1+1(n∈N*);數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn+1=4bn+6(n∈N*). (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)設cn=bn+2+(-1)n-1λ2an(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立. 解 (1)由已知,得Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1, 所以an+2-an+1=1(n≥1). 又a2-a1=1, 所以數(shù)列{an}是以a1=2為首項,1為公差的等差數(shù)列. 所以an=n+1. 又bn+1+2=4(bn+2), 所以{bn+2}是以4為公比,4為首項的等比數(shù)列. 所以bn=4n-2.

22、 (2)因為an=n+1,bn=4n-2, 所以cn=4n+(-1)n-1λ2n+1.要使cn+1>cn成立, 需cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ2n+2-(-1)n-1λ2n+1>0恒成立, 所以34n-3λ(-1)n-12n+1>0恒成立. 所以(-1)n-1λ<2n-1恒成立. ①當n為奇數(shù)時,即λ<2n-1恒成立, 當且僅當n=1時,2n-1有最小值1,所以λ<1; ②當n為偶數(shù)時,即λ>-2n-1恒成立, 當且僅當n=2時,-2n-1有最大值-2. 所以λ>-2,即-2<λ<1.又λ為非零整數(shù),則λ=-1. 綜上所述,存在λ=-1,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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