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能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.
1．仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．
2．方位角
從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．
3．方向角
相對于某一正方向的水平角
(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；
(3)南偏西等其他方向角類似．
4．坡角與坡度
(
2、1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)；
(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．
1．“仰角、俯角是相對水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的”．這種說法正確嗎？
提示：正確．
2．“方位角和方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系”，這種說法是否正確？
提示：正確．
1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關系為( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
3、
解析：選B 根據(jù)仰角和俯角的定義可知α＝β.
2．(教材習題改編)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為( )
A．a(chǎn) km B.a km
C.a km D．2a km
解析：選B 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，
故|AB|＝a.
3．在上題的條件下，燈塔
4、A在燈塔B的方向為( )
A．北偏西5° B．北偏西10°
C．北偏西15° D．北偏西20°
解析：選B 由題意可知∠A＝∠B＝30°，又CB與正南方向線的夾角為40°，故所求角為40°－30°＝10°，
即燈塔A在燈塔B的方向為北偏西10°.
4．一船自西向東航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/小時．
解析：由題意知，
5、在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得＝，解得MN＝34海里，故這只船航行的速度為海里＝ 海里/小時．[來源:]
答案：
5．某運動會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 米(如圖所示)，則旗桿的高度為________米．
解析：如圖，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.
由正弦定理得＝，[來源:]
所以B
6、C＝20×＝20 m，
在Rt△CBD中，CD＝BCsin 60°＝20×＝30 m.
答案：30
數(shù)學思想(六)
數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應用
三角函數(shù)在實際生活中有著相當廣泛的應用，三角函數(shù)的應用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識為核心，以測量、航海、筑路、天文等為代表的實際應用題是高考應用題的熱點題型．求解此類問題時，應仔細審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識求解．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
[典例] (2014·廣州模擬)在一個特定時段內(nèi)，以
7、點E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A的北偏東45°且與點A相距40 海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A的北偏東(45°＋θ)其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且與點A相距10 海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時)；
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由．
[解題指導] 根據(jù)題意畫出示意圖，然后利用正、余弦定理求解．[來源:]
[解]
(1)如圖所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝
8、θ，sin θ＝.因為0＜θ＜90°，所以cos θ＝＝，
BC＝
＝
10.
所以該船的行駛速度為＝15 海里/小時．
(2)
法一：如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B，C的坐標分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點為D.
由題設，得x1＝y(tǒng)1＝AB＝40，
x2＝ACcos∠CAD＝10·cos(45°－θ)＝30，
y2＝ACsin∠CAD＝10·sin(45°－θ)＝20.
所以過點B，C的直線l的斜率k＝＝2，
直線l的方程為y＝2x－40.
又點E(0，－55)到直線l的距
9、離d＝＝3＜7，
所以船會進入警戒水域．
法二：如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝.
所以sin∠ABC＝＝ ＝.
在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝＝＝40.
由于AE＝55＞40＝AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE＝AE－AQ＝15.
過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7.
所以船會進入警戒水域．
[題后悟道] 1.對
10、于問題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長，除以行駛時間即可求得速度；對于問題(2)，延長BC交直線AE于點Q，然后在△ABQ中，由正弦定理求得AQ的長、判斷點Q的位置，最后在△QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷．
2．解此類問題，根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運用正、余弦定理并注意與平面幾何相關知識結(jié)合有助于問題的解決．
[來源:]
某海域內(nèi)一觀測站A，
某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東50°且與A相距80海里的位置B，經(jīng)過1小時又測得該船已行駛到點A北偏東50°＋θ其中sin θ＝，0
11、76;＜θ＜90°且與A相距60海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度；
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛，求船在行駛過程中離觀測站A的最近距離．
解：(1)如圖，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sin θ＝.
由于0°＜θ＜90°，
所以cos θ＝ ＝.
由余弦定理得
BC＝＝40海里/小時，
所以該船的行駛速度為40海里/小時．
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，
則sin B＝＝60×＝，
過A作BC的垂線，交BC的延長線于D，則AD的長是船離觀測站的最近距離．
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝80×＝15 海里，
故船在行駛過程中離觀測站A的最近距離為15 海里.
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高考數(shù)學復習：第三章 ：第七節(jié)解三角形應用舉例回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
