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課時限時檢測(五十三) 曲線與方程
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎(chǔ)
中檔
稍難
曲線與方程關(guān)系
1
直接法求軌跡方程
4
6,8
待定系數(shù)法求軌跡方程
7
定義法求軌跡方程
9
代入法求軌跡方程
2,3,5
11
綜合應(yīng)用
10
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲線是( )
A．一條直線和一條雙曲線 B．兩條直線
C．兩個點 D．4條直線
【解析】 由(x－y
2、)2＋(xy－1)2＝0得
∴或
即方程表示兩個點(1,1)和(－1，－1)．
【答案】 C
2．已知點P(x，y)在以原點為圓心的單位圓上運動，則點Q(x′，y′)＝(x＋y，xy)的軌跡是( )
A．圓 B．拋物線
C．橢圓 D．雙曲線
【解析】 設(shè)P在以原點為圓心，1為半徑的圓上，
則P(x0，y0)，有x＋y＝1.
∵Q(x′，y′)＝(x＋y，xy)
∴
∴x′2＝x＋y＋2x0y0＝1＋2y′.
即點Q的軌跡方程為y′＝x′2－.
∴Q點的軌跡是拋物線．
【答案】 B
3．已知點A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點R是直線l上的一點，若＝，
3、則點P的軌跡方程為( )
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
【解析】 設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，點A是線段RP的中點，
∴即
∵點R(x1，y1)在直線y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
【答案】 B
4．長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，＝2，則點C的軌跡是( )
A．線段 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
【解析】 設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2＋b2＝9.①
又＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即②
將②
4、代入①式整理可得x2＋＝1.
【答案】 C
5．(2012煙臺模擬)已知動點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線中點的軌跡方程是( )
A．y＝2x2 B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1
【解析】 設(shè)AP中點M(x，y)，P(x′，y′)，則x＝，y＝，
∴
代入2x2－y＝0，得2y＝8x2－1，故選C.
【答案】 C
6．設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點，若＝2，且＝1，則P點的軌跡方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
5、B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
【解析】 設(shè)P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，
則＝(x，y－yB)，＝(xA－x，－y)，∵＝2，
∴即
∴A，B(0,3y)．
又Q(－x，y)，∴＝(－x，y)，＝，
∴＝x2＋3y2＝1，
則點P的軌跡方程是x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
【答案】 A
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．設(shè)拋物線C1的方程為y＝x2，它的焦點F關(guān)于原點的對稱點為E.若曲線C2上的點到E、F的距離之差的絕對值等于6，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_
6、_______．
【解析】 方程y＝x2可化為x2＝20y，它的焦點為F(0,5)，所以點E的坐標(biāo)為(0，－5)，根據(jù)題意，知曲線C2是焦點在y軸上的雙曲線，設(shè)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16，
所以曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
【答案】?。?
8．平面上有三個點A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動點C的軌跡方程是________．
【解析】?。剑?－2，y)＝，
＝(x，y)－＝，
∵⊥，∴＝0，
∴＝0，即y2＝8x.
∴動點C的軌跡方程為y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
9．點P(－3,0)是圓C：x2
7、＋y2－6x－55＝0內(nèi)一定點，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，則圓心M的軌跡方程為________．
【解析】 已知圓為(x－3)2＋y2＝64，其圓心C(3,0)，半徑為8，由于動圓M過P點，所以|MP|等于動圓的半徑r，即|MP|＝r.又圓M與已知圓C相內(nèi)切，
所以圓心距等于半徑之差即|MC|＝8－r，從而有|MC|＝8－|MP|，
即|MC|＋|MP|＝8.
根據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值8＞6＝|CP|，所以動點M的軌跡是橢圓，
并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7，
因此M點的軌跡方程是＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答題
8、(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)k代表實數(shù)，討論方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲線．
【解】 當(dāng)k＜0時，曲線－＝1為焦點在y軸的雙曲線；
當(dāng)k＝0時，曲線為兩條平行于x軸的直線y＝2或y＝－2；
當(dāng)0＜k＜2時，曲線為焦點在x軸的橢圓；
當(dāng)k＝2時，曲線為一個圓；
當(dāng)k＞2時，曲線為焦點在y軸的橢圓．
11．(12分)已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點．求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程．
【解】 由題設(shè)知|x1|＞，A1(－，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y＝(
9、x＋)，①
直線A2Q的方程為y＝(x－)．②
聯(lián)立①②解得交點坐標(biāo)為x＝，y＝，
即x1＝，y1＝，③
則x≠0，|x|＜.
而點P(x1，y1)在雙曲線－y2＝1上，所以－y＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為
＋y2＝1(x≠0且x≠)．
12．(13分)已知定點F(0,1)和直線l1：y＝－1，過定點F與直線l1相切的動圓的圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程；
(2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求的最小值．
【解】 (1)由題設(shè)知點C到點F的距離等于它到l1的距離，
∴點C的軌跡是以F為焦點，l1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動點C的軌跡方程為x2＝4y.
(2)由題意知，直線l2方程可設(shè)為y＝kx＋1(k≠0)，
與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2－4kx－4＝0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
又易得點R的坐標(biāo)為，
∴＝
＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4
＝4＋8.
∵k2＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1時取等號，
∴≥42＋8＝16，即的最小值為16.
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高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 【第八章】課時限時檢測53
