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課時限時檢測(六十三) 幾何概型
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
與長度、角度有關的幾何概型
3,7
6,9,10
與面積有關的幾何概型
1,5
8
11,12
與體積有關的幾何概型
2,4
一、選擇題(每小題5分，共30分)
圖10－6－5
1．如圖10－6－5，M是半徑為R的圓周上一個定點，在圓周上等可能的任取一點N，連接MN，則弦MN的長度超過R的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由題意知，當MN＝R時
2、，∠MON＝，所以所求概率為1－＝.
【答案】 D
2．某校航模小組在一個棱長為6米的正方體房間內(nèi)試飛一種新型模型飛機，為保證模型飛機安全，模型飛機在飛行過程中要始終保持與天花板、地面和四周墻壁的距離均大于1米，則模型飛機“安全飛行”的概率為( )
A. B. C. D.
【解析】 依題意得，模型飛行“安全飛行”的概率為3＝，選D.
【答案】 D
3．在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數(shù)x，則事件“sin x≥cos x”發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D．1
【解析】 ∵sin x≥cos x，x
3、∈[0，π]，
∴≤x≤π，
∴事件“sin x≥cos x”發(fā)生的概率為＝.
【答案】 C
4．有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為( )
A. B. C. D.
【解析】 先求點P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π122＝2π，以O為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝π13＝π.則點P到點O的距離小于或等于1的概率為＝，故點P到點O的距離大于1的概率為1－＝.
【答案】 B
5．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)
4、分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率為( )
A. B. C. D.
【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標系，則試驗的全部結果構成的區(qū)域為矩形ABCD及其內(nèi)部．
要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，則必須有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分．故所求概率P＝＝＝.
【答案】 B
6．(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝( )
A. B.
C. D.
【解析
5、】
由于滿足條件的點P發(fā)生的概率為，且點P在邊CD上運動，根據(jù)圖形的對稱性當點P在靠近點D的CD邊的分點時，EB＝AB(當點P超過點E向點D運動時，PB>AB)．設AB＝x，過點E作EF⊥AB交AB于點F，則BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，
∴＝.
【答案】 D
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．(2013湖北高考)在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________.
【解析】 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
當m≤2時，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
當2
6、時，由題意得＝，解得m＝3.即m的值為3.
【答案】 3
圖10－6－6
8．已知直線AB：x＋y－6＝0與拋物線y＝x2及x軸正半軸圍成的陰影部分如圖10－6－6所示，若從Rt△AOB區(qū)域內(nèi)任取一點M(x，y)，則點M取自陰影部分的概率為________．
【解析】 從Rt△AOB區(qū)域內(nèi)任意取一點，滿足幾何概型．
由求得點C(2,4)．
∴S陰影＝x2dx＋(6－x)dx＝＋8＝.
又S△AOB＝|OA||OB|＝62＝18.
故所求的概率P＝＝.
【答案】
9．在[－6,9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設f(x)＝－x2＋mx＋m－，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率
7、等于________．
【解析】 若函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋m－的圖象與x軸有公共點，則Δ＝m2＋4≥0，又m∈[－6,9]，得m∈[－6，－5]或m∈[1,9]，故所求的概率為P＝＝.
【答案】
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
圖10－6－7
10．(10分)如圖10－6－7所示，在單位圓O的某一直徑上隨機地取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率．
【解】 弦長不超過1，即|OQ|≥.
因Q點在直徑AB上是隨機的，
事件A為“{弦長超過1}．”
由幾何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦長不超過1的概率為1－P(A)＝1－.
11．(
8、12分)在區(qū)域內(nèi)任取一點P，求點P落在單位圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率．
【解】 如圖所示，不等式
表示的平面區(qū)域是△ABC的內(nèi)部及其邊界，
又圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)到x＋y－＝0與x－y＋＝0的距離均為1，
∴直線x＋y－＝0與x－y＋＝0均與單位圓x2＋y2＝1相切，記“點P落在x2＋y2＝1內(nèi)”為事件A，
∵事件A發(fā)生時，所含區(qū)域面積S＝π，且S△ABC＝2＝2，
故所求事件的概率P(A)＝＝.
12．(13分)已知關于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b是一枚骰子先后投擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩個正實數(shù)根的概率；
(2)
9、若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程沒有實數(shù)根的概率．
【解】 (1)基本事件(a，b)共有36個，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有兩個正實數(shù)根等價于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.
設“一元二次方程有兩個正實數(shù)根”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4個，故所求的概率為P(A)＝＝.
(2)試驗的全部結果構的區(qū)域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面積為S(Ω)＝16.
設“一元二次方程沒有實數(shù)根”為事件B，則構成事件B的區(qū)域為B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面積為S(B)＝π42＝4π.
故所求的概率為P(B)＝＝.
高考數(shù)學復習精品
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高三數(shù)學理,山東版一輪備課寶典 【第10章】課時限時檢測63
