【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第5章 第2節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和

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1、 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 【考綱下載】 1．理解等差數(shù)列的概念． 2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式． 3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題． 4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系． 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)． 2．等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列{an}

2、的首項為a1，公差為d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中項 若三個數(shù)a，A， b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝. 4．等差數(shù)列的前n項和公式 Sn＝na1＋d＝. 5．等差數(shù)列的性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和． (1)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq， 特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd. (3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． 1．已知等差數(shù)列{an}的第m項為am，公差為d，則其第n項an能

3、否用am與d表示？ 提示：能，an＝am＋(n－m)d. 2．等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)運用了什么方法？ 提示：倒序相加法． 3．等差數(shù)列前n項和公式能否看成關(guān)于n的函數(shù)，該函數(shù)是否有最值？ 提示：當d≠0時，Sn是關(guān)于n的且常數(shù)項為0的二次函數(shù)，則(n，Sn)是二次函數(shù)圖象上的一群孤立的點，由此可得：當d>0時，Sn有最小值；當d<0時，Sn有最大值． 1．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：選D　∵a2＝2，a3＝4，∴公差d＝a3－a2＝2.∴a10＝a2＋

4、8d＝2＋28＝18. 2．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和，若S10＝S11，則a1＝(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 解析：選B　∵S10＝S11，∴a11＝0，即a1＋10d＝0.∴a1＝－10d＝20. 3．已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，則該數(shù)列的公差是(　　) A．4 B．14 C．－4 D．－14 解析：選A　∵a2＝－8，a3＋a9＝4a5，∴(－8＋d)＋(－8＋7d)＝4(－8＋3d)， 即16＝4d，∴d＝4. 4．(20xx廣東高

5、考)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20. 答案：20 5．(20xx重慶高考)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________. 解析：設(shè)公差為d，∵2，a，b，c,9成等差數(shù)列， ∴9－2＝4d，∴d＝.又c－a＝2d，∴c－a＝2＝. 答案： 數(shù)學(xué)思想(七) 整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用 利用整體思想解數(shù)學(xué)問題，就是從全局著眼，由整體入手，把一些彼此獨立但實際上緊密聯(lián)系的量作為一個整體考慮的方法

6、．有不少等差數(shù)列題，其首項、公差無法確定或計算繁瑣，對這類問題，若從整體考慮，往往可尋得簡捷的解題途徑． [典例]　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝m，前m項和Sm＝n(m≠n)，則它的前m＋n項的和Sm＋n＝________. [解題指導(dǎo)]　可利用等差數(shù)列的前n項和公式求解，也可利用等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)求解． [解析]　法一：設(shè){an}的公差為d，則由Sn＝m，Sm＝n， 得 ②－①，得(m－n)a1＋d＝n－m，∵m≠n，∴a1＋d＝－1. ∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d＝(m＋n)＝－(m＋n)． 法二：設(shè)Sn＝An2＋Bn(n∈N*)， 則 ③－④，得A(

7、m2－n2)＋B(m－n)＝n－m. ∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1.∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)，即Sm＋n＝－(m＋n)． [答案]?。?m＋n) [題后悟道]　1.本題的兩種解法都突出了整體思想，其中法一把a1＋d看成了一個整體，法二把A(m＋n)＋B看成了一個整體，解起來都很方便． 2．整體思想是一種重要的解題方法和技巧，這就要求學(xué)生要熟練掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征． 3．本題的易錯點是不能正確運用整體思想的運算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤． 若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，則等于(　　) A．7 B. C. D. 解析：選D　∵a5＝，b5＝，∴＝＝＝＝＝.