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課時限時檢測(四十八) 圓的方程
(時間：60分鐘 滿分：80分)命題報告
考查知識點及角度
題號及難度
基礎
中檔
稍難
圓的定義與圓的方程
1,2
9
與圓有關的最值(范圍)問題
3
6
11
點與圓的位置關系
7
與圓有關的軌跡問題
4,8
圓的方程綜合應用問題
5,10
12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2014東營模擬)點P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25內(nèi)弦AB的中點，則直線AB的方程為( )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
2、
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
【解析】 由題意可知，圓心Q(1,0)，故kPQ＝－1.
∴kAB＝1，∴AB的方程為：y＋1＝1(x－2)，即x－y－3＝0.
【答案】 C
2．(2014湖北荊州中學質(zhì)檢)若當方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積時，則直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α＝( )
A. B. C. D.
【解析】 圓的半徑r＝≤1，當有最大半徑時圓有最大面積，此時k＝0，r＝1，∴直線方程為y＝－x＋2，則tan α＝－1，且α∈[0，π)，∴α＝π.
【答案】 A
3．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點
3、C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△ABC面積的最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
【解析】 圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，
直線AB的方程為x－y＋2＝0，
圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝，
則點C到直線AB的最短距離為－1，又|AB|＝2，
S△ABC的最小值為2＝3－.
【答案】 A
4．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點軌跡方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【解析】
4、設圓上任一點坐標為(x0，y0)，
則x＋y＝4，連線中點坐標為(x，y)，
則?
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
【答案】 A
5．點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑為( )
A．2 B.
C．3 D．1
【解析】 M，N關于直線l對稱，則直線l為MN的垂直平分線，故過此圓圓心，所以k＝4.所以原方程可化為x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，所以其半徑為3.故選C.
【答案】 C
6．若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的點均
5、在第二象限內(nèi)，則a的取值范圍為( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【解析】 曲線C的方程可化為(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，
其為圓心為(－a,2a)，半徑為2的圓，
要使圓C的所有的點均在第二象限內(nèi)，
則圓心(－a,2a)必須在第二象限，從而有a＞0，
并且圓心到兩坐標軸的最短距離應該大于圓C的半徑，
易知圓心到坐標軸的最短距離為|－a|，則有|－a|＞2，得a＞2.
【答案】 D
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．直線x－2y－2k＝0與2x－3y－k＝0的交點在圓x2＋y2＝9的外部，則k的范圍是_
6、_______．
【解析】 由得
∴(－4k)2＋(－3k)2＞9，即25k2＞9，
解得k＞或k＜－.
【答案】 ∪
8．已知A、B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點，且|AB|＝6，若以AB的長為直徑的圓M恰好經(jīng)過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是________．
【解析】 設圓心坐標為M(x，y)，
則(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．已知圓C過點A(1,0)和B(3,0)，且圓心在直線y＝x上，則圓C的標準方程為________．
【解析】 由題意可設圓心坐標為(a，a)，則圓的
7、標準方程為(x－a)2＋(y－a)2＝r2，
∴解得
故圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 (x－2)2＋(y－2)2＝5
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
10．(10分)已知圓的方程為(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.
(1)求圓心C的軌跡方程；
(2)當|OC|最小時，求圓C的一般方程(O為坐標原點)．
【解】 (1)設C(x，y)，則
消去m，得y＝4－x.
∴圓心C的軌跡方程為x＋y－4＝0.
(2)當|OC|最小時，OC與直線x＋y－4＝0垂直，
∴直線OC的方程為x－y＝0.
由得x＝y(tǒng)＝2.
即|OC|最小時，圓心的坐
8、標為(2,2)，∴m＝2.
圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.
其一般方程為x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
11．(12分)已知點P(x，y)是圓(x＋2)2＋y2＝1上任意一點．
(1)求P點到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值；
(2)求x－2y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【解】 (1)圓心C(－2,0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離為
d＝＝.
∴P點到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值為
d＋r＝＋1＝，
最小值為d－r＝－1＝.
(2)設t＝x－2y，
則直線x－2y－t＝0與圓(x＋2)2＋y2＝1有公共點
9、．
∴≤1.
∴－－2≤t≤－2.
∴tmax＝－2，tmin＝－2－.
即x－2y的最大值為－2.
最小值為－2－.
(3)設k＝，
則直線kx－y－k＋2＝0與圓(x＋2)2＋y2＝1有公共點，
∴≤1.
∴≤k≤.
∴kmax＝，kmin＝.
即的最大值為，最小值為.
12．(13分)已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5.
(1)求直線PQ與圓C的方程；
(2)若直線l∥PQ，且l與圓C交于點A，B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．
【解】 (1)直線PQ的方程為：x＋y－2＝0，設圓心O
10、(a，b)，半徑為r，
由于線段PQ的垂直平分線的方程是
y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.①
又由在y軸上截得的線段長為4，
知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②
由①②得：a＝1.b＝0或a＝5，b＝4.
當a＝1，b＝0時，r2＝13滿足題意
當a＝5，b＝4時，r2＝37不滿足題意，
故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13.
(2)設直線l的方程為y＝－x＋m，
A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，
由題意可知OA⊥OB，即kOAkOB＝－1，
∴＝－1.
整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0
將y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13
可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.
∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝，
即m2－m(1＋m)＋m2－12＝0.
∴m＝4或m＝－3，∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
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