高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第10篇 第5節(jié) 古典概型與幾何概型

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1、 第十篇 第5節(jié) 一、選擇題 1.將一枚硬幣先后拋擲兩次,恰好出現(xiàn)一次正面的概率是(  ) A.           B. C. D. 解析:基本事件為正正、正反、反正、反反4個(gè),恰好出現(xiàn)一次正面包括正反,反正2個(gè)基本事件,故P==,故選A. 答案:A 2.(20xx河北省衡水中學(xué)高三模擬)10張獎(jiǎng)券中只有3張有獎(jiǎng),5個(gè)人購買,每人1張,至少有1人中獎(jiǎng)的概率是(  ) A. B. C. D. 解析:無人中獎(jiǎng)的概率為=. 故至少有1人中獎(jiǎng)的概率為1-=. 故選D. 答案:D 3.在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM為邊作正方形,則

2、這正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:由題意可知6≤AM≤9, 于是所求概率為P==. 故選A. 答案:A 4.設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值,則方程x2+px++=0有實(shí)數(shù)根的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:Δ=p2-4×=(p+1)(p-2)≥0. 解得p≥2或p≤-1, 所求概率為=. 故選B. 答案:B 5.設(shè)=(k,1)(k∈Z),=(2,4),若k為滿足||≤4的一個(gè)隨機(jī)數(shù),則△ABC是直角三角形的概率是(  ) A. B. C. D. 解析:∵||≤4,

3、∴k2+1≤16, ∴k2≤15. 又∵k為整數(shù), ∴k=0,±1,±2,±3. 經(jīng)檢驗(yàn),只有當(dāng)k=-1,-2,3時(shí),△ABC為直角三角形, ∴該概率P=. 故選C. 答案:C 6.(20xx陜西師大附中高三模擬)在區(qū)間[-π,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn)的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:在區(qū)間[-π,π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為(a,b),表示邊長為2π的正方形. 要使函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π有零點(diǎn), 需4a2+4b2-4π≥0, 即a2+b2≥π,表示

4、以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓的外部,且在正方形的內(nèi)部, 所以其面積為4π2-π2=3π2, 所以有零點(diǎn)的概率為=. 故選B. 答案:B 二、填空題 7.曲線C的方程為+=1,其中m、n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù),事件A=“方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”,那么P(A)=______. 解析:試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36;若想表示橢圓,則前后兩次的骰子點(diǎn)數(shù)不能相同,則去掉6種可能,既然橢圓焦點(diǎn)在x軸上,則m>n,又只剩下一半情況,即有15種. 因此P(A)==. 答案: 8.在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是__

5、______. 解析:以A、B、C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個(gè)扇形, 當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求. ∴P==π. 答案:π 9.在集合A={2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合B={1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為________. 解析:點(diǎn)P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6種情況,只有(2,1),(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=9的內(nèi)部,所求概率為=. 答案: 10.(20xx山西康杰中學(xué)第二次模擬)設(shè)Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A是曲線y=

6、x2與y=x圍成的區(qū)域,若在區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P,則P點(diǎn)落入?yún)^(qū)域A的概率為________. 解析:SΩ=2×2=4, SA=(-x2)dx 故所求概率P===. 答案: 三、解答題 11.已知袋中有編號(hào)1~9的小球各一個(gè),它們的大小相同,從中任取三個(gè)小球.求: (1)恰好有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的概率; (2)至少有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的概率; (3)三個(gè)小球編號(hào)之和是3的倍數(shù)的概率. 解:(1)從九個(gè)小球中任取三個(gè)共有C種取法,它們是等可能的.設(shè)恰好有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的事件為A. 則P(A)==. (2)設(shè)至少有一球編號(hào)是3的倍數(shù)的事件為B, 則P(B)

7、=1-=或P(B)==. (3)設(shè)三個(gè)小球編號(hào)之和是3的倍數(shù)的事件為C,設(shè)集合S1={3,6,9},S2={1,4,7},S3={2,5,8}, 則取出三個(gè)小球編號(hào)之和為3的倍數(shù)的取法共有3C+C·C·C種, 則P(C)==. 12.(20xx煙臺(tái)一模)某校從參加高三年級(jí)期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(成績均為整數(shù)且滿分為100分),數(shù)學(xué)成績分組及各組頻數(shù)如下: [40,50),2;[50,60),3;[60,70),14;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],4 (1)請把給出的樣本頻率分布表中的空格都填上;

8、(2)估計(jì)成績在85分以上學(xué)生的比例; (3)為了幫助成績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績,學(xué)校決定成立“二幫一”小組,即從成績[90,100]中選兩位同學(xué),共同幫助成績在[40,50)中的某一位同學(xué).已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分,乙同學(xué)的成績?yōu)?5分,求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率. 樣本頻率分布表 分組 頻數(shù) 頻率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) [90,100] 4 0.08 合計(jì) 解:(1)樣本的頻率分布表: 分組 頻數(shù) 頻率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) 12 0.24 [90,100] 4 0.08 合計(jì) 50 1 (2)估計(jì)成績在85分以上的有6+4=10人,所以估計(jì)成績在85分以上的學(xué)生比例為=. (3)[40,50)內(nèi)有2人,[90,100]內(nèi)有4人,則“二幫一”小組有CC=12(種)分組辦法.其中甲、乙兩同學(xué)被分在同一小組有C=3(種)辦法. 所以甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率為 P==.

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