高三文科數(shù)學(xué) 通用版二輪復(fù)習(xí)：第1部分 專題1 突破點(diǎn)2　解三角形 Word版含解析

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1、 突破點(diǎn)2　解三角形 提煉1　常見解三角形的題型及解法　 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解． 提煉2　三角形形狀的判斷　(1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． (2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形，再判斷． 注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個數(shù)時要注意該數(shù)是否為零，避免漏解． 提煉3　三角形的常用面積公式　設(shè)△AB

2、C的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，其面積為S. (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)． (2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)． 回訪1　正、余弦定理的應(yīng)用 1．(20xx全國乙卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　 B.　 C.2　　　 D.3 D　由余弦定理得5＝b2＋4－2b2， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D.] 2．(20xx全國甲卷)△ABC的內(nèi)角A，B

3、，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 回訪2　三角形的面積問題 3．(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　) A．2＋2 B.＋1 C.2－2 D.－1 B　∵B＝，C＝，∴A＝π－B－C＝π－－＝. 由正弦定理＝，得＝， 即＝，∴c＝2. ∴S△ABC＝

4、bcsin A＝22sin ＝＋1.故選B.] 回訪3　正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 4．(20xx全國卷Ⅰ)如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 圖 150　根據(jù)圖示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180－75－60＝45. 由正弦定理得＝?AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60， ∴MN＝100＝150(m)．] 熱點(diǎn)題型1　正、余弦定理的應(yīng)用 題型分析：利用

5、正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化． 　(20xx四川高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且＋＝. (1)證明：sin Asin B＝sin C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. 解]　(1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)＝＝＝k(k>0)． 則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入＋＝中，有 ＋＝，2分 即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).4分 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C

6、)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C.6分 (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有 cos A＝＝，8分 所以sin A＝＝.9分 由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋ sin B，11分 故tan B＝＝4.12分 關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口． 變式訓(xùn)練1]　(1)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角

7、A，B，C的對邊，已知a＝2，c＝3，cos B＝，則＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：859520xx】 　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝22＋32－223＝10，所以b＝. 由余弦定理，得cos C＝＝＝. 因?yàn)锽是△ABC的內(nèi)角， 所以sin B＝＝. 由正弦定理＝，得sin A＝，所以＝.] (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0. ①證明：△ABC為等腰三角形； ②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值． 解]　①證明：∵acos B＋bcos (B＋C)

8、＝0， ∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0，3分 ∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分 ∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角， ∴A－B＝0，即A＝B，5分 ∴△ABC是等腰三角形.6分 ②由2(b2＋c2－a2)＝bc， 得＝，7分 由余弦定理得cos A＝，8分 cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝.10分 ∵A＝B，∴cos B＝cos A＝，11分 ∴cos B＋cos C＝＋＝.12分 熱點(diǎn)題型2　三角形面積的求解問題 題型分析：三角形

9、面積的計算及與三角形面積有關(guān)的最值問題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等． 　(20xx山東高考)設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． 【解題指導(dǎo)】　(1)f(x)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k―→求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (2)f ＝0求A建立b，c的等量關(guān)系 求bc的最大值求△ABC的面積 解]　(1)由題意知 f(x)＝－ ＝－＝sin 2x－.2分 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z

10、，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).6分 (2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，7分 由題意知A為銳角，所以cos A＝.8分 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，10分 即bc≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立． 因此bcsin A≤， 所以△ABC面積的最大值為.12分 1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Aco

11、s(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象與性質(zhì)解決問題． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經(jīng)常用到，有時還可利用基本不等式求最值． 變式訓(xùn)練2]　(名師押題)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1. (1)若sin C＝，求a，c； (2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面積． 解]　(1)∵sin C＝，∴cos2C＝1－

12、sin2C＝，cos C＝.1分 ∵4cos C＝a＋， ∴＝a＋，解得a＝或a＝.3分 又＋a＝4cos C＝4＝4， ∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.5分 ∴當(dāng)a＝時，c＝2；當(dāng)a＝時，c＝.6分 (2)由(1)可知2c2＝a2＋1. 又△ABC為直角三角形，C不可能為直角． ①若角A為直角，則a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2－1＝c2＋1， ∴c＝，a＝，8分 ∴S＝bc＝1＝.9分 ②若角B為直角，則b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1. ∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1， ∴c2＝，a2＝，即c＝，a＝，11分 ∴S＝ac＝＝.12分