高三文科數學 通用版二輪復習：第1部分 專題3 突破點8　回歸分析、獨立性檢驗 Word版含解析

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1、 突破點8　回歸分析、獨立性檢驗 提煉1　變量的相關性　(1)正相關：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域． (2)負相關：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域． (3)相關系數r：當r>0時，兩變量正相關；當r<0時，兩變量負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度越高，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度越低． 提煉2　線性回歸方程　方程＝x＋稱為線性回歸方程，其中＝，＝－.(，)稱為樣本中心點． 提煉3　獨立性檢驗　(1)確定分類變量，獲取樣本頻數，得到列聯(lián)表． (2)求觀測值：k＝. (3)根據臨界值表，作出正確判斷．如果k≥kα，就

2、推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關系”． 回訪1　變量的相關性 1．(20xx全國卷Ⅱ)根據下面給出的2004年至我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論中不正確的是(　　) 圖81 A．逐年比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．我國治理二氧化硫排放顯現成效 C.以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 D　對于A選項，由圖知從到二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知，由到矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從以后除

3、稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關，故選D.] 2．(20xx全國卷)在一組樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為(　　) A．－1　　　 B.0　 C.　　　 D.1 D　樣本點都在直線上時，其數據的估計值與真實值是相等的，即yi＝i，代入相關系數公式r＝＝1.] 3．(20xx全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元

4、)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． 圖82 (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程； (

5、3)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－. 解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.2分 (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－ ＝563－686.8＝100.6，4分 所以y關于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w，

6、因此y關于x的回歸方程為＝100.6＋68.6分 (3)①由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值＝576.60.2－49＝66.32.8分 ②根據(2)的結果知，年利潤z的預報值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.10分 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．12分 回訪2　獨立性檢驗 4．(20xx遼寧高考)電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．下面是根據調查結果繪制的觀眾日

7、均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖： 圖83 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． 根據已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？ 非體育迷 體育迷 合計 男 女 10 55 合計 解]　由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計 男 30 15 45 女 45 10 55 合計 75 25 100 4分 將22列聯(lián)表中的數據代入公式計算，得 k＝＝＝≈3.030.因為3.030<

8、3.841，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關.10分  熱點題型1　回歸分析 題型分析：高考命題常以實際生活為背景，重在考查回歸分析中散點圖的作用、回歸方程的求法和應用，難度中等． 　在一次抽樣調查中測得樣本的5組數據，得到一個變量y關于x的回歸方程模型，其對應的數值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 (1)試作出散點圖，根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝＋m哪一個適宜作為變量y關于x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立變量y關于x的回歸方程； (3)根據(2)

9、中所求的變量y關于x的回歸方程預測：當x＝3時，對應的y值為多少？(保留四位有效數字) 解]　(1)作出變量y與x之間的散點圖，如圖所示， 2分 由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數關系， 那么y＝＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型.4分 (2)由(1)知y＝＋m適宜作為變量y關于x的回歸方程模型，令t＝，則y＝kt＋m，由y與x的數據表可得y與t的數據表如下： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 ……………6分 作出y與t的散點圖，如圖所示． 8分 由圖可知y與t近似地呈線性相關關系． 又＝1.55，＝7.

10、2，iyi＝94.25，＝21.312 5， 所以k＝＝≈4.134 4，m＝－k＝7.2－4.134 41.55≈0.8， 所以y＝4.134 4t＋0.8， 所以y關于x的回歸方程為y＝＋0.8.10分 (3)由(2)得y關于x的回歸方程是y＝＋0.8， 當x＝3時，可得y＝＋0.8≈2.178.12分 1．正確理解計算，的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵．其中線性回歸方程必過樣本中心點(，)． 2．在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值． 變式訓練1]　

11、(20xx石家莊二模)為了解某地區(qū)某種農產品的年產量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和年利潤z的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統(tǒng)計如下表： x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 (1)求y關于x的線性回歸方程＝x＋； (2)若每噸該農產品的成本為2千元，假設該農產品可全部賣出，預測當年產量為多少時，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數) 參考公式：＝＝，＝－. 解]　(1)＝3，＝5，2分 i＝15，i＝25，iyi＝62.7，＝55， 解得＝－1.23，＝8.69，4分 所以＝8.69－1.23x.6分 (2)

12、年利潤z＝x(8.69－1.23x)－2x＝－1.23x2＋6.69x，10分 所以當x＝2.72，即年產量為2.72噸時，年利潤z取得最大值.12分 熱點題型2　獨立性檢驗 題型分析：盡管全國卷Ⅰ在近幾年未在該點命題，但其極易與分層抽樣、古典概型等知識交匯，是潛在的命題點之一，須引起足夠的重視． 　(20xx河南省名校期中)微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字，一經推出便風靡全國，甚至涌現出一批在微信的朋友圈內銷售商品的人(被稱為微商)．為了調查每天微信用戶使用微信的時間，某經銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，其中每天玩微信超

13、過6小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調查結果如下： 微信控 非微信控 總計 男性 26 24 50 女性 30 20 50 總計 56 44 100 (1)根據以上數據，能否有60%的把握認為“微信控”與“性別”有關？ (2)現從調查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈送營養(yǎng)面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人數； (3)從(2)中抽取的5人中再隨機抽取2人贈送200元的護膚品套裝，求這2人中至少有1人為“非微信控”的概率． 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考數據： P(K2≥k0) 0.50

14、0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 解題指導]　計算k下結論求“微信控”及“非微信控”人數求得概率． 解]　(1)由列聯(lián)表可得k＝＝≈0.649 35<0.708，2分 所以沒有60%的把握認為“微信控”與“性別”有關.3分 (2)依題意可知，所抽取的5位女性中， “微信控”有5＝3(人)，“非微信控”有5＝2(人).5分 (3)記5人中的“微信控”為a，b，c，“非微信控”為D，E， 則所有可能的基本事件為(a，b)，(a，c)，(a，D)，(a，E)，(b，c

15、)，(b，D)，(b，E)，(c，D)，(c，E)，(D，E)，共10種，8分 其中至少有1人為“非微信控”的基本事件有(a，D)，(a，E)，(b，D)，(b，E)，(c，D)，(c，E)，(D，E)，共7種，10分 所以這2人中至少有1人為“非微信控”的概率為.12分 求解獨立性檢驗問題時要注意：一是22列聯(lián)表中的數據與公式中各個字母的對應，不能混淆；二是注意計算得到k之后的結論． 變式訓練2]　某高校共有學生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單

16、位：小時)． (1)應收集多少位女生的樣本數據？ (2)根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據的分組區(qū)間為：0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率； (3)在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”． 附：K2＝， P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.84

17、1 6.635 7.879 解]　(1)300＝90，所以應收集90位女生的樣本數據.2分 (2)由頻率分布直方圖得1－2(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.5分 (3)由(2)知，300位學生中有3000.75＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時．又因為樣本數據中有210份是關于男生的，90份是關于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表： 男生 女生 總計 每周平均體育運動時間不超過4小時 45 30 75 每周平均體育運動時間超過4小時 165 60 225 總計 210 90 300 8分 結合列聯(lián)表可算得k＝＝≈4.762>3.841.10分 所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”.12分