人教版 高中數(shù)學【選修 21】 教學案：第二章2．22.2.2反證法

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1、2019 人教版精品教學資料高中選修數(shù)學 22.2 反證法 預習課本預習課本 P4243，思考并完成下列問題思考并完成下列問題 (1)反證法的定義是什么？有什么特點？反證法的定義是什么？有什么特點？ (2)利用反證法證題的關鍵是什么？步驟是什么？利用反證法證題的關鍵是什么？步驟是什么？ 新知初探新知初探 反證法的定義及證題的關鍵反證法的定義及證題的關鍵 點睛點睛 對反證法概念的理解對反證法概念的理解 (1)反證法的原理是反證法的原理是“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定” 第一個否定是指第一個否定是指“否定結(jié)論否定結(jié)論(假設假設)”； 第； 第二個否定是指二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定邏輯推

2、理結(jié)果否定” (2)反證法屬反證法屬“間接解題方法間接解題方法” 2“反證法反證法”和和“證逆否命題證逆否命題”的區(qū)別與聯(lián)系的區(qū)別與聯(lián)系 (1)聯(lián)系：通聯(lián)系：通過證明逆否命題成立來證明原命題成立和通過反證法說明原命題成立屬于過證明逆否命題成立來證明原命題成立和通過反證法說明原命題成立屬于間接證明，都是很好的證明方法間接證明，都是很好的證明方法 (2)區(qū)別：證明逆否命題實際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證區(qū)別：證明逆否命題實際上就是從結(jié)論的反面出發(fā)，推出條件的反面成立而反證法一般是假設結(jié)論的反面成立，然后通過推理導出矛盾法一般是假設結(jié)論的反面成立，然后通過推理導出矛盾 小試身手小

3、試身手 1判斷判斷(正確的打正確的打“”“”，錯誤的打，錯誤的打“”“”) (1)反證法屬于間接證明問題的方法反證法屬于間接證明問題的方法( ) (2)反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理( ) (3)反證法的實質(zhì)是否定結(jié)論導出矛盾反證法的實質(zhì)是否定結(jié)論導出矛盾( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2應用反證法推出矛盾的推導應用反證法推出矛盾的推導過程中，要把下列哪些作為條件使用過程中，要把下列哪些作為條件使用( ) 結(jié)論的否定即假設；結(jié)論的否定即假設；原命題的條件；原命題的條件；公理、定理、定義等；公理、定理、定義等；

4、原命題的結(jié)論原命題的結(jié)論 A B C D 答案：答案：C 3如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)( ) A一個是正數(shù)，一個是負數(shù)一個是正數(shù)，一個是負數(shù) B兩個都是正數(shù)兩個都是正數(shù) C至少有一個正數(shù)至少有一個正數(shù) D兩個都是負數(shù)兩個都是負數(shù) 答案：答案：C 4用反證法證明用反證法證明“如果如果 ab，那么，那么3a3b ”，假設的內(nèi)容應是，假設的內(nèi)容應是_ 答案：答案：3a3b 用反證法證明否定性命題用反證法證明否定性命題 典例典例 已知三個正數(shù)已知三個正數(shù) a，b，c 成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證：成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列求證： a， b， c不不成等差數(shù)列

5、成等差數(shù)列 證明證明 假設假設 a， b， c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則 a c2 b， 即即 ac2 ac4b. a，b，c 成等比數(shù)列成等比數(shù)列，b2ac，即即 b ac， ac2 ac4 ac，( a c)20，即即 a c. 從而從而 abc，與，與 a，b，c 不成等差數(shù)列矛盾，不成等差數(shù)列矛盾， 故故 a， b， c不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列 1用反證法證明否定性命題的適用類型用反證法證明否定性命題的適用類型 結(jié)論中含有結(jié)論中含有“不不”“”“不是不是”“”“不可能不可能”“”“不存在不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比

6、較具體，適合使用反證法類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法 2用反證法證明數(shù)學命題的步驟用反證法證明數(shù)學命題的步驟 活活學活用學活用 已知已知 f(x)axx2x1(a1)，證明方程，證明方程 f(x)0 沒有負數(shù)根沒有負數(shù)根 證明：證明：假設假設 x0是是 f(x)0 的負數(shù)根，的負數(shù)根， 則則 x00 且且 x01，且，且 ax0 x02x01， 由由 0ax010 x02x011， 解得解得12x02，這與，這與 x00 矛盾，所以假設不成立，矛盾，所以假設不成立， 故方程故方程 f(x)0 沒有負數(shù)根沒有負數(shù)根. 用反證法證明用反證法證明“至至多多”“”“至少至少”問題

7、問題 典例典例 已知已知 a1，求證三個方程：，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一個方程有實數(shù)解中至少有一個方程有實數(shù)解 證明證明 假設三個方程都沒有實根，則三個方程中：它們的判別式都小于假設三個方程都沒有實根，則三個方程中：它們的判別式都小于 0，即：，即： (4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0 32a12，a13或或a1，32a1，2a0. 這這與已知與已知 a1 矛盾，所以假設不成立，故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解矛盾，所以假設不成立，故三個方程中至少有一個方程有實數(shù)解 一題多變一題多變 1變條件，變設問變

8、條件，變設問將本題改為：已知下列三個方程將本題改為：已知下列三個方程 x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 至少有一個方程有實數(shù)根，如何求實數(shù)至少有一個方程有實數(shù)根，如何求實數(shù) a 的取值范圍？的取值范圍？ 解：解：若方程沒有一個有實根，則若方程沒有一個有實根，則 16a24(34a)0，(a1)24a20，4a28a0， 解得解得 32a12，a13或或a1，即，即32a1，2a0. 故三個方程至少有一個方程有實根，實數(shù)故三個方程至少有一個方程有實根，實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 a a1或或a32. 2變條件，變設問變條件，變設問將本題條件改為三個方程中至多有將

9、本題條件改為三個方程中至多有 2 個方程有實數(shù)根，求實數(shù)個方程有實數(shù)根，求實數(shù) a的取值范圍的取值范圍 解：解：假設三個方程都有實數(shù)根，則假設三個方程都有實數(shù)根，則 (4a)24(4a3)0，(a1)24a20，(2a)242a0， 即即 4a24a30，3a22a10，a22a0， 解得解得 a32或或a12，1a13，a2或或a0. 即即 a . 所以實數(shù)所以實數(shù) a 的取值范圍為實數(shù)的取值范圍為實數(shù) R. 3變條件，變設問變條件，變設問已知已知 a，b，c，dR，且，且 abcd1，acbd1，求證：，求證：a，b，c，d 中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù) 證明：證明：假設假設 a0

10、，b0，c0，d0. abcd1， (ab)(cd)1， acbdbcad1. 而而 acbdbcadacbd1，與上式矛盾，與上式矛盾， 假設不成立，假設不成立， a，b，c，d 中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù) 用反證法證明用反證法證明“至多至多”“”“至少至少”等問題的兩個關注點等問題的兩個關注點 (1)反設情況要全面，在使用反證法時，必須在假設中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺反設情況要全面，在使用反證法時，必須在假設中羅列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的少任何一種可能，反證法都是不完全的 (2)常用題型：對于否定性命題常用題型：對于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)或結(jié)

11、論中出現(xiàn)“至多至多”“”“至少至少”“”“不可能不可能”等字樣時，等字樣時，常用反證法常用反證法 用反證法證明唯一性命題用反證法證明唯一性命題 典例典例 求證：兩條相交直線有且只有一個交點求證：兩條相交直線有且只有一個交點 證明證明 假設結(jié)論不成立，則有兩種可能：無交點或不止一個交點假設結(jié)論不成立，則有兩種可能：無交點或不止一個交點 若直線若直線 a，b 無交點，則無交點，則 ab 或或 a，b 是異面直線，與已知矛盾是異面直線，與已知矛盾 若直線若直線 a，b 不只有一個交點，則至少有兩個交點不只有一個交點，則至少有兩個交點 A 和和 B， 這樣同時經(jīng)過點這樣同時經(jīng)過點 A，B 就有兩條直線

12、，這與就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾相矛盾 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點 巧用反證法證明唯一性命題巧用反證法證明唯一性命題 (1)當證明結(jié)論有以當證明結(jié)論有以“有且只有有且只有”“當且僅當當且僅當”“”“唯一存在唯一存在”“”“只有一個只有一個”等形式出現(xiàn)等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明的命題時，由于反設結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明 (2)用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒用反證法證題時，如果欲證明命題的反面情況只有一種，那么只

13、要將這種情況駁倒了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論了就可以；若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立成立 (3)證明證明“有且只有一個有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性 活學活用活學活用 求證：過直線外一點只有一條直線與它平行求證：過直線外一點只有一條直線與它平行 證明：證明：已知：直線已知：直線 ba，A a，Ab， 求證：直線求證：直線 b 唯一唯一 假設過點假設過點 A 還有一條直線還有一條直線 ba. 根據(jù)平行公理，根據(jù)平行公理，ba，bb， 與與

14、 bbA 矛盾，矛盾，假設不成立，原命題成立假設不成立，原命題成立 層級一層級一 學業(yè)水平達標學業(yè)水平達標 1用反證法證明命題：用反證法證明命題：“若直線若直線 AB，CD 是異面直線，則直線是異面直線，則直線 AC，BD 也是異面直也是異面直線線”的過程歸納為以下三個步驟：的過程歸納為以下三個步驟： 則則 A，B，C，D 四點共面，所以四點共面，所以 AB，CD 共面，這與共面，這與 AB，CD 是異面直線矛盾；是異面直線矛盾；所以假設錯誤，即直線所以假設錯誤，即直線 AC，BD 也是異面直線；也是異面直線；假設直線假設直線 AC，BD 是共面直線是共面直線 則正確的序號順序為則正確的序號順

15、序為( ) A B C D 解析：解析：選選 B 根據(jù)反證法的三個基本步驟根據(jù)反證法的三個基本步驟“反設反設歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論”可可知順序應為知順序應為. 2用反證法證明命題用反證法證明命題“如果如果 a，bN，ab 可被可被 5 整除，那么整除，那么 a，b 中至少有一個能被中至少有一個能被5 整除整除”時，假設的內(nèi)容應為時，假設的內(nèi)容應為( ) Aa，b 都能被都能被 5 整除整除 Ba，b 都不能被都不能被 5 整除整除 Ca，b 不都能被不都能被 5 整除整除 Da 不能被不能被 5 整除整除 解析：解析：選選 B “至少有一個至少有一個”的否定是的否定是“一個也沒有一個也沒有”，即，即

16、“a，b 都不能被都不能被 5 整除整除”，故選故選 B. 3用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時，反設正確的是時，反設正確的是( ) A三個內(nèi)角中至少有一個鈍角三個內(nèi)角中至少有一個鈍角 B三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角 C三個內(nèi)角都不是鈍角三個內(nèi)角都不是鈍角 D三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個鈍角兩個鈍角 解析：解析：選選 B “至多有一個至多有一個”即要么一個都沒有，要么有一個，故反設為即要么一個都沒有，要么有一個，故反設為“至少有兩至少有兩個個” 4已知已知 a，b 是異面直線，直線是異面

17、直線，直線 c 平行于直線平行于直線 a，那么，那么 c 與與 b 的位置關系為的位置關系為( ) A一定是異面直線一定是異面直線 B一定是相交直線一定是相交直線 C不可能是平行直線不可能是平行直線 D不可能是相交直線不可能是相交直線 解析：解析：選選 C 假設假設 cb，而由，而由 ca，可得，可得 ab，這與，這與 a，b 異面矛盾，故異面矛盾，故 c 與與 b 不可不可能是平行直線，故應選能是平行直線，故應選 C. 5已知已知 a，b，c，d 為實數(shù)，且為實數(shù)，且 cd，則，則“ab”是是“acbd”的的( ) A充分而不必要條件充分而不必要條件 B必要而不充分條件必要而不充分條件 C充

18、要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 B cd，cd，ab，ac 與與 bd 的大小無法比較可采用反的大小無法比較可采用反證法，當證法，當 acbd 成立時，假設成立時，假設 ab，cd，acbd，與題設矛盾，與題設矛盾，ab.綜上可知，綜上可知，“ab”是是“acbd”的必要不充分條件的必要不充分條件 6否定否定“自然數(shù)自然數(shù) a，b，c 中恰有一個偶數(shù)中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設是時，正確的反設是_ 答案：答案：自然數(shù)自然數(shù) a，b，c 中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 7命題命題“a，bR，若，若|a1|b1|0，則，則 ab

19、1”用反證法證明時應假設為用反證法證明時應假設為_ 解析：解析：“ab1”的反面是的反面是“a1 或或 b1”，所以設為，所以設為 a1 或或 b1. 答案：答案：a1 或或 b1 8和兩條異面直線和兩條異面直線 AB，CD 都相交的兩條直線都相交的兩條直線 AC，BD 的位置關系是的位置關系是_ 解析：解析：假設假設 AC 與與 BD 共面于平面共面于平面 ，則，則 A，C，B，D 都在平面都在平面 內(nèi)，內(nèi)，AB，CD，這與，這與 AB，CD 異面相矛盾，故異面相矛盾，故 AC 與與 BD 異面異面 答案：答案：異面異面 9求證：求證：1， 3，2 不能為同一等差數(shù)列的三項不能為同一等差數(shù)列

20、的三項 證明：證明：假設假設 1， 3，2 是某一等差數(shù)列的三項，設這一等差數(shù)列的公差為是某一等差數(shù)列的三項，設這一等差數(shù)列的公差為 d， 則則 1 3md,2 3nd，其中，其中 m，n 為兩個正整數(shù)，為兩個正整數(shù)， 由上面兩式消去由上面兩式消去 d，得，得 n2m 3(nm) 因為因為 n2m 為有理數(shù)，而為有理數(shù)，而 3(nm)為無理數(shù)，為無理數(shù)， 所以所以 n2m 3(nm)，矛盾，因此假設不成立，矛盾，因此假設不成立， 即即 1， 3，2 不能為同一等差數(shù)列的三項不能為同一等差數(shù)列的三項 10已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)在在 R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a，bR. (1)求證：如果求證

21、：如果 ab0，那么，那么 f(a)f(b)f(a)f(b)； (2)判斷判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論你的結(jié)論 解：解：(1)證明：當證明：當 ab0 時，時，ab 且且 ba. f(x)在在 R 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b) (2)(1)中命題的逆命題為中命題的逆命題為“如果如果 f(a)f(b)f(a)f(b)，那么，那么 ab0”，此命題成，此命題成立立 用反證法證明如下：用反證法證明如下： 假設假設 ab0，則，則 ab，f(a)f(b) 同理可得同理可得 f(b)

22、f(a) f(a)f(b)f(a)f(b)，這與，這與 f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假設不矛盾，故假設不成立，成立， ab0 成立，即成立，即(1)中命題的逆命題成立中命題的逆命題成立 層級二層級二 應試能力達標應試能力達標 1用反證法證明命題用反證法證明命題“關于關于 x 的方程的方程 axb(a0)有且只有一個解有且只有一個解”時，反設是關于時，反設是關于 x的方程的方程 axb(a0)( ) A無解無解 B有兩解有兩解 C至少有兩解至少有兩解 D無解或至少有兩解無解或至少有兩解 解析：解析：選選 D “唯一唯一”的否定是的否定是“至少兩解或無解至少兩解或無解” 2下列四個命題

23、中錯誤的是下列四個命題中錯誤的是( ) A在在ABC 中，若中，若A90，則，則B 一定是銳角一定是銳角 B. 17， 13， 11不可能成等差數(shù)列不可能成等差數(shù)列 C在在ABC 中，若中，若 abc，則，則C60 D若若 n 為整數(shù)且為整數(shù)且 n2為偶數(shù)，則為偶數(shù)，則 n 是偶數(shù)是偶數(shù) 解析：解析：選選 C 顯然顯然 A、B、D 命題均真，命題均真，C 項中若項中若 abc，則，則ABC，若，若C60，則，則A60，B60，ABC180與與ABC180矛盾，故選矛盾，故選 C. 3設設 a，b，c(，0)，則，則 a1b，b1c，c1a( ) A都不大于都不大于2 B都不小于都不小于2 C至

24、少有一個不大于至少有一個不大于2 D至少有一個不小于至少有一個不小于2 解解析：析：選選 C 假設都大于假設都大于2，則，則 a1bb1cc1a6，但，但 a1b b1c c1a a1a b1b c1c2(2)(2)6，矛盾，矛盾 4若若ABC 能被一條直線分成兩個與自身相似的三角形，那么這個三角形的形狀是能被一條直線分成兩個與自身相似的三角形，那么這個三角形的形狀是( ) A鈍角三角形鈍角三角形 B直角三角形直角三角形 C銳角三角形銳角三角形 D不能確定不能確定 解析：解析：選選 B 分分ABC 的直線只能過一個頂點且與對邊相交，如直線的直線只能過一個頂點且與對邊相交，如直線 AD(點點 D

25、 在在 BC上上)， 則， 則ADBADC， 若， 若ADB 為鈍角， 則為鈍角， 則ADC 為銳角 而為銳角 而ADCBAD， ADCABD，ABD 與與ACD 不可能相似，與已知不符，只有當不可能相似，與已知不符，只有當ADBADCBAC2時，才符合題意時，才符合題意 5已知數(shù)列已知數(shù)列an，bn的通項公式分別為的通項公式分別為 anan2，bnbn1(a，b 是常數(shù)，且是常數(shù)，且 ab)，那么這兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均對應相同的項有，那么這兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均對應相同的項有_個個 解析：解析：假設存在序號和數(shù)值均相等的項，即存在假設存在序號和數(shù)值均相等的項，即存在 n 使得使得 anbn

26、，由題意，由題意 ab，nN*，則恒有則恒有 anbn，從而，從而 an2bn1 恒成立，所以不存在恒成立，所以不存在 n 使使 anbn. 答案：答案：0 6完成反證法證題的全完成反證法證題的全過程設過程設 a1，a2，a7是是 1,2，7 的一個排列，求證：乘的一個排列，求證：乘積積 p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)為偶數(shù) 證明：證明：假設假設 p 為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 a11，a22，a77 均為奇數(shù)因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇均為奇數(shù)因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有數(shù)，故有 奇數(shù)奇數(shù)_0. 但但 0奇數(shù)，這一矛盾說明奇數(shù)，這一矛盾說明 p 為偶數(shù)為偶數(shù) 解析：解析：據(jù)題目要求及解題步驟，據(jù)題

27、目要求及解題步驟， a11，a22，a77 均為奇數(shù)，均為奇數(shù)， (a11)(a22)(a77)也為奇數(shù)也為奇數(shù) 即即(a1a2a7)(127)為奇數(shù)為奇數(shù) 又又a1，a2，a7是是 1,2，7 的一個排列，的一個排列， a1a2a7127，故上式為，故上式為 0， 所以奇數(shù)所以奇數(shù)(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127)0. 答案答案：(a11)(a22)(a77) (a1a2a7)(127) 7已知已知 a，b，c(0,1)，求證求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14. 證明：證明：假設假設(1a)b，(1b)c，(1c)a 都大于都大于14.

28、 因為因為 0a1,0b1,0c1， 所以所以 1a0.由基本不等式，由基本不等式， 得得(1a)b2 (1a)b1412. 同理，同理，(1b)c212，(1c)a212. 將這三個不等式兩邊分別相加，得將這三個不等式兩邊分別相加，得 (1a)b2(1b)c2(1c)a2121212， 即即3232，這是不成立的，這是不成立的， 故故(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于14. 8已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足：滿足：a112，3(1an1)1an2(1an)1an1，anan10(n1)；數(shù)列；數(shù)列bn滿足：滿足：bna2n1a2n(n1) (1)求數(shù)列求數(shù)列an，bn的通項公

29、式；的通項公式； (2)證明：數(shù)列證明：數(shù)列bn中的任意三項不可能成等差數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列 解：解：(1)由題意可知，由題意可知，1a2n123(1a2n) 令令 cn1a2n，則，則 cn123cn. 又又 c11a2134，則數(shù)列，則數(shù)列cn是首項為是首項為 c134，公比為，公比為23的等比數(shù)列，即的等比數(shù)列，即 cn34 23n1， 故故 1a2n34 23n1a2n134 23n1. 又又 a1120，anan10， 故故 an(1)n1 134 23n1. bna2n1a2n 134 23n134 23n114 23n1. (2)用反證法證明用反證法證明 假設數(shù)列假設

30、數(shù)列bn存在三項存在三項 br，bs，bt(rst)按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列bn是首項是首項為為14，公比為，公比為23的等比數(shù)列，于是有的等比數(shù)列，于是有 brbsbt，則只可能有，則只可能有 2bsbrbt成立成立 214 23s114 23r114 23t1， 兩邊同乘以兩邊同乘以 3t121r，化簡得，化簡得 3tr2tr2 2sr3ts. 由于由于 rst，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導致矛盾故數(shù)上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導致矛盾故數(shù)列列bn中任意三項不可能成等差數(shù)列中任意三項不可能成等差數(shù)列 (時間：時間：

31、120 分鐘分鐘 滿分：滿分：150 分分) 一一、選擇題選擇題(本大題本大題共共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，共共 60 分在每小題給出的四個選項中分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的只有一項是符合題目要求的) 1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)函數(shù) f(x)x2在在 R 上是偶函數(shù)上是偶函數(shù)”的推理過程是的推理過程是( ) A歸納推理歸納推理 B類比推理類比推理 C演繹推理演繹推理 D非以上答案非以上答案 解析：解析：選選 C 根據(jù)演繹推理的定義知根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理推理過程是演繹推理，故選故選 C. 2自然數(shù)是整數(shù)自然數(shù)是整數(shù)

32、，4 是自然數(shù)是自然數(shù)，所以所以 4 是整數(shù)以上三段論推理是整數(shù)以上三段論推理( ) A正確正確 B推理形式不正確推理形式不正確 C兩個兩個“自然數(shù)自然數(shù)”概念不一致概念不一致 D“兩個整數(shù)兩個整數(shù)”概念不一致概念不一致 解析：解析：選選 A 三段論中的大前提三段論中的大前提、小前提及推理形小前提及推理形式都是正確的式都是正確的 3設設 a，b，c 都是非零實數(shù)都是非零實數(shù)，則關于則關于 a，bc，ac，b 四個數(shù)四個數(shù)，有以下說法：有以下說法： 四個數(shù)可能都是正數(shù)；四個數(shù)可能都是正數(shù)；四個數(shù)可能都是負數(shù)；四個數(shù)可能都是負數(shù)；四個數(shù)中既有正數(shù)又有負數(shù)四個數(shù)中既有正數(shù)又有負數(shù) 則說法中正確的個數(shù)

33、有則說法中正確的個數(shù)有( ) A0 B1 C2 D3 解析：解析：選選 B 可用反證法推出可用反證法推出，不正確不正確，因此因此正確正確 4下列推理正確的是下列推理正確的是( ) A把把 a(bc)與與 loga(xy)類比類比，則有則有 loga(xy)logaxlogay B把把 a(bc)與與 sin(xy)類比類比，則有則有 sin(xy)sin xsin y C把把 a(bc)與與 axy類比類比，則有則有 axyaxay D把把(ab)c 與與(xy)z 類比類比，則有則有(xy)zx(yz) 解析：解析：選選 D (xy)zx(yz)是乘法的結(jié)合律是乘法的結(jié)合律，正確正確 5 已

34、知已知“整數(shù)對整數(shù)對”按如下規(guī)律排列：按如下規(guī)律排列： (1,1)， (1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第則第 70 個個“整數(shù)對整數(shù)對”為為( ) A(3,9) B(4,8) C(3,10) D(4,9) 解析：解析：選選 D 因為因為 121166，所以第所以第 67 個個“整數(shù)對整數(shù)對”是是(1,12)，第第 68 個個“整整數(shù)對數(shù)對”是是(2,11)，第第 69 個個“整數(shù)對整數(shù)對”是是(3,10)，第第 70 個個“整數(shù)對整數(shù)對”是是(4,9)，故選故選 D. 6求證：求證： 2 3 5. 證明：因為證明：

35、因為 2 3和和 5都是正數(shù)都是正數(shù)， 所以為了證明所以為了證明 2 3 5， 只需證明只需證明( 2 3)2( 5)2，展開得展開得 52 65， 即即 2 60，此式顯然成立此式顯然成立，所以不等式所以不等式 2 3 5成立成立 上述證明過程應用了上述證明過程應用了( ) A綜合法綜合法 B分析法分析法 C綜合法綜合法、分析法配合使用分析法配合使用 D間接證法間接證法 解析：解析：選選 B 證明過程中的證明過程中的“為了證明為了證明”，“只需證明只需證明”這樣的語句是分析這樣的語句是分析法所特有的法所特有的，是分析法的證明模式是分析法的證明模式 7已知已知bn為等比數(shù)列為等比數(shù)列，b52，

36、則則 b1b2b3b929.若若an為等差數(shù)列為等差數(shù)列，a52，則則an的類似結(jié)論為的類似結(jié)論為( ) Aa1a2a3a929 Ba1a2a929 Ca1a2a929 Da1a2a929 解析解析：選選 D 由等差數(shù)列性質(zhì)由等差數(shù)列性質(zhì)，有有 a1a9a2a82a5.易知易知 D 成立成立 8若數(shù)列若數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列anan1( ) A一定是等比數(shù)列一定是等比數(shù)列 B一定是等差數(shù)列一定是等差數(shù)列 C可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列 D一定不是等比數(shù)列一定不是等比數(shù)列 解析：解析：選選 C 設等比數(shù)列設等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，則則

37、 anan1an(1q)當當 q1 時時，anan1一定是等比數(shù)列；一定是等比數(shù)列； 當當 q1 時時，anan10，此時為等差數(shù)列此時為等差數(shù)列 9已知已知 abc0，則則 abbcca 的值的值( ) A大于大于 0 B小于小于 0 C不小于不小于 0 D不大于不大于 0 解析：解析：選選 D 法一：法一：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbca2b2c220. 法二：法二：令令 c0，若若 b0，則則 abbcac0，否則否則 a，b 異號異號，abbcacab0，排除排除 A、B、C，選選 D. 10已知已知 123332433n3n13n(nab)c 對一切對一切

38、nN*都成立都成立，那么那么 a，b，c 的值的值為為( ) Aa12，bc14 Babc14 Ca0，bc14 D不存在這樣的不存在這樣的 a，b，c 解析：解析：選選 A 令令 n1,2,3， 得得 3 ab c1，9 2ab c7，27 3ab c34. 所以所以 a12，bc14. 11已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和項和 Sn，且且 a11，Snn2an(nN*)，可歸納猜想出可歸納猜想出 Sn的表達的表達式為式為( ) ASn2nn1 BSn3n1n1 CSn2n1n2 DSn2nn2 解析：解析：選選 A 由由 a11，得得 a1a222a2，a213，S243；又；又 1

39、13a332a3，a316，S33264； 又又 11316a416a4，得得 a4110，S485. 由由 S122，S243，S364，S485可以猜想可以猜想 Sn2nn1. 12設函數(shù)設函數(shù) f(x)定義如下表定義如下表，數(shù)列數(shù)列xn滿足滿足 x05，且對任意的自然數(shù)均有且對任意的自然數(shù)均有 xn1f(xn)，則則 x2 016( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 A.1 B2 C4 D5 解析：解析： 選選 D x1f(x0)f(5)2， x2f(2)1， x3f(1)4， x4f(4)5， x5f(5)2， ，數(shù)列數(shù)列xn是周期為是周期為 4 的數(shù)列的數(shù)列，

40、所以所以 x2 016x45，故應選故應選 D. 二二、填空題填空題(本大題共本大題共 4 小題小題，每小題每小題 5 分分，滿分滿分 20 分把答案填在題中的橫線上分把答案填在題中的橫線上) 13已知已知 x，yR，且且 xy0，b0，mlga b2，nlgab2，則則 m，n 的大小關系是的大小關系是_ 解析：解析：ab0 ab0ab2 abab ( a b)2( ab)2 a b ab a b2ab2lga b2lg ab2. 答案：答案：mn 15已知已知 223223， 338338， 4415 4415， 6ab6ab，a，b 均為正實數(shù)均為正實數(shù)，由以上規(guī)律可推測出由以上規(guī)律可推

41、測出 a，b 的值的值，則則 ab_. 解析：解析：由題意歸納推理得由題意歸納推理得 6ab6ab，b621 35，a6.ab63541. 答案：答案：41 16現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個邊長都同一平面內(nèi)有兩個邊長都是是 a 的正方形的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊則這兩個正方形重疊部分的面積恒為部分的面積恒為a24.類比到空間類比到空間，有兩個棱長為有兩個棱長為 a 的正方體的正方體，其中一個的某其中一個的某頂點在另一個的中心頂點在另一個的中心，則這兩個則這兩個正方體重疊部分的體

42、積恒為正方體重疊部分的體積恒為_ 解析：解析：解法的類比解法的類比(特殊化特殊化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為易得兩個正方體重疊部分的體積為a38. 答案：答案：a38 三三、解答題解答題(本大題共本大題共 6 小題小題，共共 70 分解答應寫出文字說明分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟) 17(本小題滿分本小題滿分 10 分分)用綜合法或分析法證明：用綜合法或分析法證明： (1)如果如果 a，b0，則則 lg ab2lg alg b2； (2)6 102 32. 證明：證明：(1)當當 a，b0 時時，有有ab2 ab， lgab2lg ab， lgab212lg

43、 ablg alg b2. (2)要證要證 6 102 32， 只要證只要證( 6 10)2(2 32)2， 即即 2 602 48，這是顯然成立的這是顯然成立的， 所以所以，原不等式成立原不等式成立 18(本小題滿分本小題滿分 12 分分)若若 a10，a11，an12an1an(n1,2，) (1)求證：求證：an1an； (2)令令 a112，寫出寫出 a2，a3，a4，a5的值的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式 an(不要求不要求證明證明) 解：解：(1)證明：若證明：若 an1an，即即2an1anan， 解得解得 an0 或或 1. 從而從而 ana

44、n1a2a10 或或 1， 這與題設這與題設 a10，a11 相矛盾相矛盾， 所以所以 an1an不成立不成立 故故 an1an成立成立 (2)由題意得由題意得 a112，a223，a345，a489，a51617，由此猜想：由此猜想：an2n12n11. 19(本小題滿分本小題滿分 12 分分)下列推理是否正確？若不正確下列推理是否正確？若不正確，指出錯誤之處指出錯誤之處 (1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于求證：四邊形的內(nèi)角和等于 360 . 證明：設四邊形證明：設四邊形 ABCD 是矩形是矩形，則它的四個角都是直角則它的四個角都是直角，有有ABCD90 90 90 90 360 ，所以四邊所以

45、四邊形的內(nèi)角和為形的內(nèi)角和為 360 . (2)已知已知 2 和和 3 都是無理數(shù)都是無理數(shù)，試證：試證： 2 3也是無理數(shù)也是無理數(shù) 證明：依題設證明：依題設 2和和 3都是無理數(shù)都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以所以 2 3必是必是無理數(shù)無理數(shù) (3)已知實數(shù)已知實數(shù) m 滿足不等式滿足不等式(2m1)(m2)0，用反證法證明：關于用反證法證明：關于 x 的方程的方程 x22x5m20 無實根無實根 證明：假設方程證明：假設方程 x22x5m20 有實根由已知實數(shù)有實根由已知實數(shù) m 滿足不等式滿足不等式(2m1)(m2)0，解得解得2m12，而關于

46、而關于 x 的方程的方程 x22x5m20 的判別式的判別式 4(m24)，2m12，14m24，0，即關于即關于 x 的方程的方程 x22x5m20 無實根無實根 解：解：(1)犯了偷換論題的錯誤犯了偷換論題的錯誤，在證明過程中在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形把論題中的四邊形改為矩形 (2)使用的論據(jù)是使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的這個論據(jù)是假的，因為兩個無理因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此原題的真實性仍無法判定因此原題的真實性仍無法判定 (3)利用反證法進行證明時利用反證法進行證明時，要把要把假設作為條件

47、進行推理假設作為條件進行推理，得出矛盾得出矛盾，本題在證明過程本題在證明過程中并沒有用到假設的結(jié)論中并沒有用到假設的結(jié)論，也沒有推出矛盾也沒有推出矛盾，所以不是反證法所以不是反證法 20(本小題滿分本小題滿分 12 分分)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 Sn，a11 2，S393 2. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項的通項 an與前與前 n 項和項和 Sn； (2)設設 bnSnn(nN*)， 求證：數(shù)列求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列 解：解：(1)由已知得由已知得 a1 21，3a13d93 2， d2. 故故 an2n1

48、 2，Snn(n 2) (2)由由(1)得得 bnSnnn 2. 假設數(shù)列假設數(shù)列bn中存在三項中存在三項 bp，bq，br(p，q，r 互不相等互不相等)成等比數(shù)列成等比數(shù)列，則則 b2qbpbr， 即即(q 2)2(p 2)(r 2)， (q2pr)(2qpr) 20， p，q，rN*， q2pr0，2qpr0， pr22pr，(pr)20. pr，與與 pr 矛盾矛盾 數(shù)列數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列 21(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知：已知：sin2 30 sin2 90 sin2 150 32，sin2 5 sin2 65 s

49、in2 125 32，通過觀察上述兩等式的規(guī)律通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出對任意角度請你寫出對任意角度 都成立的一般性的命題都成立的一般性的命題，并并給予證明給予證明 解：解：一般形式為：一般形式為： sin2sin2(60 )sin2(120 )32. 證明：左邊證明：左邊1cos 221cos 2120 2 1cos 2240 2 3212cos 2cos(2120 )cos(2240 ) 3212(cos 2cos 2cos 120 sin 2sin 120 cos 2cos 240 sin 2sin 240 ) 3212cos 212cos 232sin 212cos 232si

50、n 232右邊右邊 將一般形式寫成將一般形式寫成 sin2(60 )sin2sin2(60 )32也正確也正確 22(本小題滿分本小題滿分 12 分分)根據(jù)要求證明下列各題：根據(jù)要求證明下列各題： (1)用分析法證明：已知非零向量用分析法證明：已知非零向量 a，b，且且 ab，求證：求證：|a|b|ab| 2； (2)用反證法證明：用反證法證明：1， 2，3 不可能是一個等差數(shù)列中的三項不可能是一個等差數(shù)列中的三項 證明：證明：(1)aba b0，要證要證|a|b|ab| 2. 只需證只需證|a|b| 2|ab|， 只需證只需證|a|22|a|b|b|22(a22a bb2)， 只需證只需證|

51、a|22|a|b|b|22a22b2， 只需證只需證|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20， 上式顯然成立上式顯然成立，故原不等式得證故原不等式得證 (2)假設假設 1， 2，3 是某一個等差數(shù)列中的三項是某一個等差數(shù)列中的三項，且分別是第且分別是第 m，n，k 項項(m，n，kN *)， 則數(shù)列的公差則數(shù)列的公差 d21nm31km，即即 212 nm km， 因為因為 m，n，kN*，所以所以(nm)Z，(km)Z，所以所以2 nm km為有理數(shù)為有理數(shù)， 所以所以 21 是有理數(shù)是有理數(shù)，這與這與 21 是無理數(shù)相矛盾是無理數(shù)相矛盾 故假設不成立故假設不成立，所以所以 1， 2，3 不可能是一個等差數(shù)列的三項不可能是一個等差數(shù)列的三項