人教版 小學8年級 數(shù)學上冊 12.3角的平分線的性質例題與講解

《人教版 小學8年級 數(shù)學上冊 12.3角的平分線的性質例題與講解》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版 小學8年級 數(shù)學上冊 12.3角的平分線的性質例題與講解（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019人教版初中數(shù)學精品教學資料 12.3　角的平分線的性質 1．角的平分線的性質 (1)內容 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． (2)書寫格式 如圖所示， ∵點P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE. 談重點 角平分線的性質的理解和應用 (1)使用角的平分線的性質有兩個條件：①點在角的平分線上；②過這一點作角的兩邊的垂線段．結論是：這點到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等． (2)角的平分線的性質是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等． (3)如果已知一個點在角的平分線上，常作出該點到角兩邊的垂線段，

2、運用性質得到兩線段相等． 【例1】 如圖，在△ABC中，∠C＝90，∠ABC的平分線BD交AC于點D.若CD＝2 cm，則點D到直線AB的距離是__________ cm. 解析：因為點D在∠ABC的角平分線上，所以點D到直線AB的距離等于點D到直線BC的距離，即點D到直線AB的距離等于CD的長． 答案：2 2．角的平分線的判定 (1)內容 角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上． (2)書寫格式 如圖所示， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴點P在∠AOB的角平分線上． (3)作用 運用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線

3、． 警誤區(qū) 角的平分線的性質和判定適用的條件　在運用角的平分線的性質和判定時，往往錯誤地將一線段當作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質和判定，因此在運用角的平分線的性質和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件． 【例2】 如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D，求證：AD平分∠BAC. 證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE， ∴∠DEB＝∠DFC＝90. 在△BDE和△CDF中， ∵ ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF. 又∵BF⊥AC，AB⊥CE， ∴AD平分∠BAC(角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平

4、分線上)． 3．運用角的平分線的性質解決實際問題 運用角的平分線的性質的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點到角兩邊的距離． 在運用角的平分線的性質解決實際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點的位置，只要作出角的平分線即可． 運用角平分線的性質解決實際問題時，一定要把實際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學圖形直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點，這個過程就是建立數(shù)學模型的過程，這是在解決實際問題中常用的方法． 4．運用角的平分線的判定解決實際問題 在實際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點到某些線的距離相等，常先把實際問題轉化為數(shù)學問題，即建

5、立數(shù)學模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題． 解技巧 巧用角的平分線的性質和判定解決問題　能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質或判定是解決問題的關鍵．找到解決問題的切入點就是已知條件中有點到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點． 5．綜合運用角的平分線的性質和判定解決實際問題 角的平分線的性質和判定的關系如下： 對于角的平分線的性質和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結論，“性質”和“判定”恰好是條件和結論的互換，在應用時不要混淆，性質是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)． 析規(guī)律

6、 構造角的平分線的模型證明線段相等　當有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可． 【例3】 如圖，某考古隊為進行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3 000 m．根據(jù)這些資料，考古隊很快找到了這座古城的遺址．你能運用學過的知識在圖中合理地標出古城遺址的位置嗎？請你試一試．(比例尺為1∶100 000) 解：如圖． 作法：(1)以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點，分別以A，B為圓心，以大

7、于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點O，過C，O作射線CO. (2)按比例尺計算得古塔與P的圖上距離為3 cm，以古塔為圓心，以3 cm長為半徑畫弧交CO于點P，則點P即為所求． 【例4】 如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側以及過街天橋AB的距離相等的點P處．此時，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請問民警在注視可疑分子從A處走到B處時，他的視線轉過了多大角度？ 解：連接PA，PB. ∵點P到BE，AF，AB的距離相等， ∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝∠EBA，∠PAB＝∠FAB. ∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180.

8、 ∴∠PBA＋∠PAB＝(∠EBA＋∠FAB)＝90. ∴∠APB＝180－(∠PBA＋∠PAB)＝180－90＝90，即民警的視線轉過的角度為90. 【例5】 如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們相交于點P，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F，求證：BP為∠MBN的平分線． 分析：要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線，故可過點P作PE⊥AC于點E，根據(jù)角平分線的性質有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線． 證明：過點P作PE⊥AC于點E. ∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線

9、，PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F， ∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF. 又∵PD⊥BM于點D，PF⊥BN于點F， ∴點P在∠MBN的平分線上(角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上)． ∴BP為∠MBN的平分線． 6．運用角的平分線的性質和判定解決探究型問題 在實際問題中，確定位置(如建貨物中轉站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質來解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質“角的內部到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上”的應用是尋找角的平分線的一種比較簡單的方法． 三角形有三條角平分線交于三角形內部一點

10、，并且交點到該三角形三邊的距離都相等，其實只要作出其中兩條角平分線的交點，第三條角平分線一定過此交點． 三角形兩個外角的平分線也交于一點，這點到該三角形三邊所在的直線距離相等． 三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個． 【例6】 如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點，現(xiàn)計劃修建一個商品超市，要求這個超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？ 解：三角形的三條角平分線的交點到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線交于一點，利用角的平分線的性質和判定定理，可以得到此點也在∠CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點；∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點，因此滿足條件的點共有4個． 作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內角∠BAC，∠ABC的平分線的交點O1. (2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線的交點O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線的交點O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線的交點O4；故滿足條件的修建點有四處，即點O1，O2，O3，O4處．