人教版 小學(xué)8年級(jí) 數(shù)學(xué)上冊(cè) 12.3角的平分線(xiàn)的性質(zhì)例題與講解

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1、2019人教版初中數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料 12.3　角的平分線(xiàn)的性質(zhì) 1．角的平分線(xiàn)的性質(zhì) (1)內(nèi)容 角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． (2)書(shū)寫(xiě)格式 如圖所示， ∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線(xiàn)上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE. 談重點(diǎn) 角平分線(xiàn)的性質(zhì)的理解和應(yīng)用 (1)使用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)有兩個(gè)條件：①點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上；②過(guò)這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線(xiàn)段．結(jié)論是：這點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線(xiàn)段相等． (2)角的平分線(xiàn)的性質(zhì)是證明兩線(xiàn)段相等的方法之一，而且不用再證明兩個(gè)三角形全等． (3)如果已知一個(gè)點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，常作出該點(diǎn)到角兩邊的垂線(xiàn)段，

2、運(yùn)用性質(zhì)得到兩線(xiàn)段相等． 【例1】 如圖，在△ABC中，∠C＝90，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D.若CD＝2 cm，則點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離是__________ cm. 解析：因?yàn)辄c(diǎn)D在∠ABC的角平分線(xiàn)上，所以點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離等于點(diǎn)D到直線(xiàn)BC的距離，即點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離等于CD的長(zhǎng)． 答案：2 2．角的平分線(xiàn)的判定 (1)內(nèi)容 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上． (2)書(shū)寫(xiě)格式 如圖所示， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線(xiàn)上． (3)作用 運(yùn)用角的平分線(xiàn)的判定，可以證明兩個(gè)角相等和一條射線(xiàn)是角的平分線(xiàn)

3、． 警誤區(qū) 角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定適用的條件　在運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定時(shí)，往往錯(cuò)誤地將一線(xiàn)段當(dāng)作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定，因此在運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定時(shí)，一定要注意“距離”必須有垂直的條件． 【例2】 如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE交于點(diǎn)D，求證：AD平分∠BAC. 證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE， ∴∠DEB＝∠DFC＝90. 在△BDE和△CDF中， ∵ ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF. 又∵BF⊥AC，AB⊥CE， ∴AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平

4、分線(xiàn)上)． 3．運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題 運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線(xiàn)以及角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離． 在運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，題目中常常出現(xiàn)求到某個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，只要作出角的平分線(xiàn)即可． 運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要把實(shí)際問(wèn)題中道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線(xiàn)，并且要求的點(diǎn)是到兩線(xiàn)的距離相等，常常確定兩線(xiàn)夾角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，這是在解決實(shí)際問(wèn)題中常用的方法． 4．運(yùn)用角的平分線(xiàn)的判定解決實(shí)際問(wèn)題 在實(shí)際問(wèn)題中，如果出現(xiàn)了某個(gè)地點(diǎn)到某些線(xiàn)的距離相等，常先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建

5、立數(shù)學(xué)模型(角的平分線(xiàn))．然后根據(jù)已知某點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線(xiàn)的判定得到角的平分線(xiàn)來(lái)解決問(wèn)題． 解技巧 巧用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題　能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線(xiàn)的性質(zhì)或判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)就是已知條件中有點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等或要找到到兩條直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)． 5．綜合運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題 角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下： 對(duì)于角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時(shí)不要混淆，性質(zhì)是證兩條線(xiàn)段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)． 析規(guī)律

6、 構(gòu)造角的平分線(xiàn)的模型證明線(xiàn)段相等　當(dāng)有角平分線(xiàn)時(shí)，常過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得線(xiàn)段相等．同樣，欲證明某射線(xiàn)為角平分線(xiàn)時(shí)，只需過(guò)其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，再證線(xiàn)段相等即可． 【例3】 如圖，某考古隊(duì)為進(jìn)行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3 000 m．根據(jù)這些資料，考古隊(duì)很快找到了這座古城的遺址．你能運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)在圖中合理地標(biāo)出古城遺址的位置嗎？請(qǐng)你試一試．(比例尺為1∶100 000) 解：如圖． 作法：(1)以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交兩河岸于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為圓心，以大

7、于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)O，過(guò)C，O作射線(xiàn)CO. (2)按比例尺計(jì)算得古塔與P的圖上距離為3 cm，以古塔為圓心，以3 cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交CO于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求． 【例4】 如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側(cè)以及過(guò)街天橋AB的距離相等的點(diǎn)P處．此時(shí)，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請(qǐng)問(wèn)民警在注視可疑分子從A處走到B處時(shí)，他的視線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)了多大角度？ 解：連接PA，PB. ∵點(diǎn)P到BE，AF，AB的距離相等， ∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線(xiàn)，即∠PBA＝∠EBA，∠PAB＝∠FAB. ∵BE∥AF，∴∠EBA＋∠FAB＝180.

8、 ∴∠PBA＋∠PAB＝(∠EBA＋∠FAB)＝90. ∴∠APB＝180－(∠PBA＋∠PAB)＝180－90＝90，即民警的視線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為90. 【例5】 如圖，AP，CP分別是△ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線(xiàn)，它們相交于點(diǎn)P，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F，求證：BP為∠MBN的平分線(xiàn)． 分析：要證BP為∠MBN的平分線(xiàn)，只需證PD＝PF，而AP，CP為外角平分線(xiàn)，故可過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)有PD＝PE，PF＝PE，所以PF＝PD.因此BP為∠MBN的平分線(xiàn)． 證明：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E. ∵AP，CP分別是∠MAC與∠NCA的平分線(xiàn)

9、，PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F， ∴PD＝PE，PF＝PE(角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)．∴PD＝PF. 又∵PD⊥BM于點(diǎn)D，PF⊥BN于點(diǎn)F， ∴點(diǎn)P在∠MBN的平分線(xiàn)上(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上)． ∴BP為∠MBN的平分線(xiàn)． 6．運(yùn)用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定解決探究型問(wèn)題 在實(shí)際問(wèn)題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫(kù)等)的問(wèn)題，常常用到角的平分線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)解決．尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上”的應(yīng)用是尋找角的平分線(xiàn)的一種比較簡(jiǎn)單的方法． 三角形有三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)

10、，并且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，第三條角平分線(xiàn)一定過(guò)此交點(diǎn)． 三角形兩個(gè)外角的平分線(xiàn)也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線(xiàn)距離相等． 三角形外角平分線(xiàn)共有三條，所以到三角形三邊所在直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)共有4個(gè)． 【例6】 如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來(lái)嗎？ 解：三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離相等；∠ACB，∠ABC的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，利用角的平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點(diǎn)也在∠CAB的平分線(xiàn)上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有∠BAC，∠BCA的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)；∠BAC，∠CBA的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，因此滿(mǎn)足條件的點(diǎn)共有4個(gè)． 作法：(1)如右圖所示，作出△ABC兩內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線(xiàn)的交點(diǎn)O1. (2)分別作出∠ACB，∠ABC的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)O2，∠BAC，∠BCA的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)O3，∠BAC，∠CBA的外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)O4；故滿(mǎn)足條件的修建點(diǎn)有四處，即點(diǎn)O1，O2，O3，O4處．