高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第6章 不等式、推理與證明 第4節(jié) 歸納與類比學案 文 北師大版

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1、 第四節(jié)　歸納與類比 [考綱傳真]　1.了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異；掌握演繹推理的“三段論”，能運用“三段論”進行一些簡單的演繹推理． (對應學生用書第87頁) [基礎知識填充] 1．歸納推理：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理． 2．類比推理：由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似

2、的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 3．歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結果不一定正確． 4．演繹推理 (1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)歸納推理與類比推理都是由

3、特殊到一般的推理．(　　) (2)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．(　　) (3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結論是錯誤的．(　　) (4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結論就一定正確．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．由“半徑為R的圓內接矩形中，正方形的面積最大”，推出“半徑為R的球的內接長方體中，正方體的體積最大”是(　　) A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．以上都不是 B　[類比推理的一般步驟是：(1)找出兩類事物之間的相

4、似性或一致性．(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)．所以，由“半徑為R的圓內接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內接長方體中，正方體的體積最大”是類比推理，選B．] 3．(教材改編)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3 C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1 C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.] 4．“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)

5、y＝x是增函數(shù)(結論)”，上面推理的錯誤在于(　　) A．大前提錯誤導致結論錯誤 B．小前提錯誤導致結論錯誤 C．推理形式錯誤導致結論錯誤 D．大前提和小前提錯誤導致結論錯誤 A　[“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯誤的．因為實數(shù)a的取值范圍沒有確定，所以導致結論是錯誤的．] 5．(20xx開封模擬)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們三人去過同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為________. 【導學號：00090211】 A　[由題

6、意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A．] (對應學生用書第88頁) 歸納推理 　(1)數(shù)列，，，，，，…，，，…，，…的第20項是(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2)(20xx山東高考)觀察下列等式： －2＋－2＝12； －2＋－2＋－2＋－2＝23； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝34；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝45； …… 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. (1

7、)C　(2)n(n＋1)　[(1)數(shù)列在數(shù)列中是第1＋2＋3＋…＋m＝項，當m＝5時，即是數(shù)列中第15項，則第20項是，故選C． (2)通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數(shù)，后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號內角度值分子中π的系數(shù)的一半，后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù)，所以，所求結果為n(n＋1)，即n(n＋1)．] [規(guī)律方法]　1.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類： (1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯(lián)系相關的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等； (2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目

8、歸納和圖形變化規(guī)律歸納，合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕? 2．歸納推理的一般步驟： (1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質； (2)從相同性質中推出一個明確表述的一般性命題． [變式訓練1]　(1)已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，類比得x＋≥n＋1(n∈N*)，則a＝__________. 【導學號：00090212】 (2)下面圖形由小正方形組成，請觀察圖641(1)至圖(4)的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是__________． 圖641 (1)nn(n∈N*)

9、　(2)(n∈N*)　[(1)第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn. (2)由題圖知第n個圖形的小正方形個數(shù)為1＋2＋3＋…＋n.所以總個數(shù)為(n∈N*)．] 類比推理 　(1)(20xx陜西師大附中模擬)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，類比這一性質可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為(　　) A．dn＝　　　 B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ (2)在平面幾何中，△ABC的∠C的平分線CE分

10、AB所成線段的比為＝.把這個結論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖642)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結論是________________． 圖642 (1)D　(2)＝　[(1)法一：從商類比開方，從和類比到積，則算術平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故dn的表達式為dn＝. 法二：若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d， ∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列；若{cn}是等比數(shù)列，則c1c2…cn＝cq1＋2＋…＋(n－1)＝cq，∴dn＝＝c1q，即{dn}為等比數(shù)列，故選D． (2)由平面中線段的比轉化為

11、空間中面積的比可得＝.] [規(guī)律方法]　1.進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比，提出猜想，其中找到合適的類比對象是解題的關鍵． 2．類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；運算類比(和與積、乘與乘方，差與除，除與開方)．數(shù)的運算與向量運算類比；圓錐曲線間的類比等． [變式訓練2]　(20xx江淮十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確

12、定出來x＝2，類似地不難得到1＋＝(　　) 【導學號：00090213】 A． B． C． D． C　[1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故選C．] 演繹推理 　數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. [證明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 2分 ∴＝2，又＝1≠0，(小前提) 故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(結論) (大前

13、提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) 5分 (2)由(1)可知＝4(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)＝4Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 8分 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結論以及題中的已知條件) 12分 [規(guī)律方法]　演繹推理的一般模式為三段論，三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P.應用三段論解決問題時，首先應該明確什么是大前提，小前提，然后再找結論． [變式訓練3]

14、　(20xx全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 D　[由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀、1個良好”．乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績． 故選D．]