人教版 高中數(shù)學 第三章3.1第1課時線性回歸模型

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1、人教版高中數(shù)學精品資料 第三章 統(tǒng)計案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第1課時 線性回歸模型 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．有下列說法： ①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，貼近這些樣本點的數(shù)學方法； ②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示； ③通過回歸方程＝x＋及其回歸系數(shù)b，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢； ④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗． 其中正確說法的個數(shù)是(　　 ) A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4 解析：①反映的是最小二乘法思

2、想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系． 答案：C 2．設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有(　　 ) A．b與r的符號相同 B．a(chǎn)與r的符號相同 C．b與r的符號相反 D．a(chǎn)與r的符號相反 解析：因為b＞0時，兩變量正相關(guān)，此時r＞0；b＜0時，兩變量負相關(guān)，此時r＜0. 答案：A 3．實驗測得四組(x，y)的值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則

3、y與x之間的回歸直線方程為(　　 ) A.＝x＋1 B.＝x＋2 C.＝2x＋1 D.＝x－1 解析：求出樣本中心(，)代入選項檢驗知選項A正確． 答案：A 4．設(shè)某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　 ) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.7

4、9 kg 解析：回歸方程中x的系數(shù)為0.85＞0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點的中心，，B正確；依據(jù)回歸方程中y的含義可知，x每變化1個單位，y相應(yīng)變化約0.85個單位，C正確；用回歸方程對總體進行估計不能得到肯定的結(jié)論，故D錯誤． 答案：D 5．(2015福建卷)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入x/萬元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/萬元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0

5、.76，＝y(tǒng)－，. 據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 解析：由已知得 ＝＝10(萬元)， ＝＝8(萬元)， 故＝8－0.7610＝0.4. 所以回歸直線方程為＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭年支出為＝0.76x＋0.4，社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭支出為＝0.7615＋0.4＝11.8(萬元)． 答案：B 二、填空題 6．若施化肥量x(kg)與小麥產(chǎn)量y(kg)之間的回歸直線方程為＝250＋4x，當施化肥量為50 kg時，預(yù)計小麥產(chǎn)量為________

6、kg. 解析：把x＝50代入＝250＋4x，得＝450. 答案：450 7．已知x，y的取值如表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則的值等于________． 解析：x＝(0＋1＋3＋4)＝2，y＝＝4.5，而回歸直線方程過樣本點的中心(2，4.5)， 所以＝y(tǒng)－0.95x＝4.5－0.952＝2.6. 答案：2.6 8．已知一個線性回歸方程為＝1.5x＋45，其中x的取值依次為1，7，5，13，19，則＝________． 解析：＝＝9，因為回歸直線方程過點(，)，所以＝

7、1.5x＋45＝1.59＋45＝58.5. 答案：58.5 三、解答題 9．某醫(yī)院用光電比色計檢驗?zāi)蚬瘯r，得尿汞含量x(單位：mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結(jié)果如下： 尿汞含量x 2 4 6 8 10 消光系數(shù)y 64 138 205 285 360 (1)畫出散點圖； (2)求回歸方程． 解：(1)散點圖如圖所示： (2)由圖可知y與x的樣本點大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它． 設(shè)回歸方程為＝x＋. 故所求的線性回歸方程為＝36.95x－11.3. 10．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 年

8、份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/萬噸 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程＝x＋； (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2018年的糧食需求量． 解：(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程．為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份2012年 －4 －2 0 2 4 需求量257萬噸 －21 －11 0 19 29 對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得＝0，＝3.2.所以 ＝＝6.5， ＝－＝3.2. 由上述計算結(jié)果，知所求回歸直

9、線方程為 －257＝(x－2 012)＋＝6.5(x－2 012)＋3.2， 即＝6.5(x－2 012)＋260.2.① (2)利用直線方程①，可預(yù)測2018年的糧食需求量為 ＝6.5(2 018－2 012)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(萬噸)≈300(萬噸)． B級　能力提升 1．某學生四次模擬考試中，其英語作文的減分情況如下表： 考試次數(shù)x 1 2 3 4 所減分數(shù)y 4.5 4 3 2.5 顯然所減分數(shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為(　　) A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5

10、.25 C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25 解析：由題意可知，所減分數(shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負相關(guān)，所以排除A. 考試次數(shù)的平均數(shù)為x＝(1＋2＋3＋4)＝2.5， 所減分數(shù)的平均數(shù)為y＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5， 即直線應(yīng)該過點(2.5，3.5)，代入驗證可知直線y＝－0.7x＋5.25成立，故選D. 答案：D 2．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關(guān)系： 時間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0

11、.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________． 解析：這5天的平均投籃命中率為 ＝＝0.5， ＝＝3. 所以＝＝0.01，＝－＝0.47. 所以回歸直線方程為＝0.01x＋0.47. 當x＝6時，＝0.016＋0.47 ＝0.53. 答案：0.5　0.53 3．某市垃圾處理廠的垃圾年處理量(單位：千萬噸)與資金投入量x(單位：千萬元)有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 分類 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 資金投入量x/ 千萬元　　

12、1.5 1.4 1.9 1.6 2.1 垃圾處理量y/ 千萬噸　　 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若從統(tǒng)計的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0 千萬噸的概率； (2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為＝4x＋，該垃圾處理廠計劃2017年的垃圾處理量不低于9.0千萬噸，現(xiàn)由垃圾處理廠決策部門獲悉2017年的資金投入量約為1.8千萬元，請你預(yù)測2017年能否完成垃圾處理任務(wù)，若不能，缺口約為多少千萬噸？ 解：(1)從統(tǒng)計的5年垃圾處理量中任取2年的基本事件共10個：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，

13、10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的基本事件有6個：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)． 所以，這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0千萬噸的概率為P＝＝. (2)＝＝1.7， ＝＝8.3， 因為直線＝4x＋過樣本中心點(，)， 所以8.3＝41.7＋，解得＝1.5. 所以＝4x＋1.5. 當x＝1.8時，＝41.8＋1.5＝8.7＜9.0， 所以不能完成垃圾處理任務(wù)，缺口約為0.3千萬噸．