蘇教版高中數(shù)學選修22第1章 導數(shù)及其應用教案

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1、 精品資料 目標定位： 1．通過具體背景與實例的抽象，經(jīng)歷導數(shù)模型的建構(gòu)和利用導數(shù)解決實際問題的過程，使學生對變量數(shù)學的思想方法（無窮小算法數(shù)學）有新的感悟．進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，感受和體會數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數(shù)學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎． 導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點，進而，學習本章節(jié)有助于學生從整體上理解和把握數(shù)學的結(jié)構(gòu)，靈活運用數(shù)學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力． 2．本章具體的教學目標是： （

2、1）經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，體會變化率的廣闊實際背景（如運動速度、綠地面積增長率、人口增長率、汽油的使用效率等等）．認識平均變化率與導數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵，知道瞬時變化率就是導數(shù)，并通過函數(shù)圖象直觀地理解導數(shù)的幾何意義．讓學生在經(jīng)歷和參與數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動的基礎上，體驗有限與無限、數(shù)形結(jié)合的思維過程，以及代數(shù)幾何相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法． （2）能由導數(shù)的定義求函數(shù)y = c，y = x，y = x2，y = 的導數(shù)．能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)． （3）結(jié)合實例，探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系．并利用導數(shù)求不超過三次

3、的多項式函數(shù)的極大值、極小值和最大值、最小值．通過實例，初步學會解決生活中的優(yōu)化問題（如利潤最大、用料最省、效率最高）．體會導數(shù)的實際應用價值． （4）了解有關微積分創(chuàng)立的時代背景和歷史意義，體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值． 教材解讀： 1．本教材《導數(shù)及其應用》，側(cè)重于對導數(shù)本質(zhì)的認識，通過大量的實例由淺入深，由表及里，層層展示其數(shù)學思想和數(shù)學方法．這與傳統(tǒng)的運用形式化的極限概念，將導數(shù)作為一種規(guī)則的設計有很大的不同．全章按：“現(xiàn)實世界中的背景” → “建立數(shù)學模型” → “對數(shù)學模型進行研究”→ “利用數(shù)學模型解決問題” 的線索而展開．全書的整體結(jié)構(gòu)如下： 2．“

4、局部的以直代曲”是微積分的核心所在，本教材通過一系列的“問題串”以及十分形象直觀的“放大圖形”的樸素方法，逐層深入，將“以直代曲”的本質(zhì)力圖說透．教材按照“問題情境—建立模型—解釋應用與拓展”的程序，讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的過程．本章的問題情境按二條線索進行設計．線索一為生活中的案例，如“氣溫變化的快與慢”、“嬰兒體重變化的快與慢”、“工廠治污率的比較”、“速度變化的快與慢”、“邊際函數(shù)”等等．另一條線索則是源于數(shù)學內(nèi)部的背景．如“曲線上一點處的變化趨勢”、“曲線上一點處最逼近曲線的直線”、“怎樣由割線逼近切線” 等等．應指出的是上述兩條線索交替呈現(xiàn)，環(huán)環(huán)相扣．為導數(shù)模型的建立和感受微分的基本思想

5、提供了豐富的背景． 3．為了讓更多的學生能理解“局部以直代曲”的辨證思想，激發(fā)他們自主學習的動機，教材通過設置“思考、探究、鏈接、閱讀”等內(nèi)容，以及信息技術的運用，為教師和學生的活動提供了廣闊的空間，以期促進和改進教學方式和學習方式．為了適應學生的個性發(fā)展，教材在練習的基礎上，將習題分為“感受理解”、“思考運用”、“探究拓展”三個層次．“感受理解”體現(xiàn)了本章的基本要求．“思考運用”則幫助學生深化本章知識的理解．“探究拓展”則為學生有余力的同學提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題．這樣習題便具有一定的彈性，為教學留有足夠的空間．也有助于學生良好的學習方式的形成． 4．另外，本章節(jié)的教學應加強與前期所學必

6、修教材的聯(lián)系，如必修2的相關習題（圓的周長與圓的面積的關系、圓的面積與球的體積的關系）均為學習本章節(jié)作好了鋪墊． 教學方法與教學建議： 1. 突出數(shù)學模型思想．充分利用章引言中“氣溫變化”的背景和大量的生活實例以及學生學習數(shù)學必修課程所結(jié)累的經(jīng)驗，自覺地參與建構(gòu)模型的活動．教學內(nèi)容的呈現(xiàn)，應注意反映數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認識規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則．既要讓學生領悟到數(shù)學的發(fā)生和發(fā)展具有“一以貫之”的風貌，又要使學生不知不覺地感受到學習的過程“似曾相識”． 2. 以問題為中心，以“問題串”為載體．充分發(fā)揮理性思維在建構(gòu)數(shù)學模型中的作用．教師要避免“急于表白”和“自說自話

7、”，應努力追求水到渠成．通過問題串，著力揭示建構(gòu)數(shù)學模型的思維過程和數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生學會提出問題，學會數(shù)學發(fā)現(xiàn)． 例如，比較變化的快與慢，只考慮Δy行不行？教學中不要直接灌輸Δy/Δx，應由生活實際背景，根據(jù)學生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設豐富的情境啟發(fā)學生討論、探索、感悟和體會，并盡可能由學生自己舉例說明．教材在P4、P5、P8、P18分別提出：“用什么樣的數(shù)學模型來刻畫變量變化的快與慢？”、“氣溫陡增的數(shù)學意義是什么呢？”、“如何量化陡峭程度呢？”、“如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？”、“如何求一個函數(shù)的導數(shù)？”這一系列問題引導著怎樣的“數(shù)學思維過程”？ “變量變化的快與慢”

8、→“數(shù)學地研究：幾何化——曲線圖”→“數(shù)學地研究：數(shù)量化—--局部近似（以直代曲），平均變化率”→“割線的斜率”→“近似向精確逼近——無限趨近于零”→“平均變化率過渡到瞬時變化率，割線的斜率過渡到切線的斜率”→“導數(shù)”． 可見，在上述環(huán)環(huán)相扣的問題串的指引下，師生可以真正主動地參與建構(gòu)數(shù)學的活動．通過對這一問題的討論與發(fā)現(xiàn)，可以緊緊扣住數(shù)學的本質(zhì)．在教學中，關鍵不在給出具體的方法，而在于數(shù)學原理的發(fā)現(xiàn)，具體方法的程序化表達，只要建立在深刻理解的基礎上，學生自己也不難做到．這應該自始至終地貫徹于數(shù)學教學過程之中． 3. 導數(shù)的學習涉及到多個相關知識，應注重不同章節(jié)之間的鋪墊與呼應，內(nèi)容上注

9、意承前啟后（如函數(shù)的圖象和性質(zhì)、球的面積與體積、算法與流程圖），方法上注意多樣并舉．直與曲的對立統(tǒng)一，近似與精確的相互轉(zhuǎn)化，形與數(shù)的有機結(jié)合，導數(shù)的教學應追求集大成的境界，熔幾何代數(shù)于一爐，呈“中心開花”之態(tài)． 4．數(shù)學理論不是生活的簡單復制，必要的形式化訓練也是必不可少．在導數(shù)概念建立之后，要認真引導學生用定義推導幾個初等函數(shù)的導數(shù)公式，這一階段特別要注重規(guī)范化書寫的常規(guī)訓練，同時，進一步體會導數(shù)的思想和內(nèi)涵及數(shù)學理論的自身特點和巨大價值，這其中滲透了算法的基本思想．對于直接給出的其他基本初等函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則，一般不要提高要求．另外，應注意作為選修1-1與選修2-2在教學要求上

10、的區(qū)別． 5．恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g，有條件應盡量使用計算器（機）．如，“割線逼近切線”的動態(tài)操作，曲線一點處的局部“放大、放大、再放大”的過程演示，“平均變化率過渡到瞬時變化率”的數(shù)值計算，計算曲邊梯形面積的Monte Carlo方法等，運用多媒體教學，應注意現(xiàn)場制作，賦予信息技術以鮮活的生命，努力把計算機變成學習的好伙伴． 6．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它充滿著人類智慧的光輝．它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．在今天的數(shù)學課上，我們是先學微分，后學積分．而在歷史上積分概念的產(chǎn)生要遠早于微分概念之前．積分的萌芽可上溯到公元前3世紀

11、阿基米德的“窮竭法”，而微積分于17世紀中后葉由費馬、笛卡爾、牛頓與萊布尼茨等人大體完成．雖然在18世紀，微積分作為偉大的數(shù)學工具已得到了廣泛的應用．但直到19世紀才由柯西等人運用實數(shù)理論、集合論和極限論為微積分構(gòu)建了牢固的邏輯基礎．這與牛頓、萊布尼茨時代又間隔了約150年．微積分的歷史，最富有啟示意義之處就在于它充分顯示了數(shù)學是如何取得進步的．周密的思考，邏輯地推演，然后獲勝完美而無懈可擊的數(shù)學結(jié)論．數(shù)學家們這種正統(tǒng)的觀念，正好與歷史上微積分創(chuàng)造者們的情形發(fā)生了尖銳的沖突．回顧歷史，教師們理應深切感悟到，在中學作為“教育形態(tài)”而非“學術形態(tài)”的微積分可以適當簡化和降低理論的嚴格推導過程，通過形象直觀去認識和感受它，這既減少了學生學習的困難，又有利于真正理解導數(shù)與定積分的本質(zhì)．