高考數(shù)學(xué) 復(fù)習 文科 第三章導(dǎo)數(shù) 第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與運算

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1、 第三章 導(dǎo)數(shù) 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念與運算 題型33 導(dǎo)數(shù)的定義——暫無 題型34 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.（20xx天津文11）已知函數(shù) ，其中為實數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若 ，則的值為 ． 1. 解析 因為 ，所以. 2.（20xx陜西文21(1)）設(shè)求. 2. 解析 由題設(shè)，所以， 所以， 由錯位相減法求得： ， 所以. 3.（20xx天津文10）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為__________. 3.3解析 因為，所以. 4.（20xx浙江20） 已知函數(shù). （1）求的導(dǎo)函數(shù)； （2）求在區(qū)間上的取值范圍. 4.解析 （1）因為 ，，

2、 所以. （2）由，解得或. 當變化時，，的變化情況如下表所示. 1 0 0 ↘ 0 ↗ ↘ 又，，所以在區(qū)間上的取值范圍是. 題型35 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1. （20xx江西文11） 若曲線（）在點處的切線經(jīng)過坐標原點，則 . 1.解析 因為，所以在點處的切線斜率，則切線方程為. 又切線過原點，故，解得. 2.(20xx廣東文12）若曲線在點處的切線平行于軸，則 ． 2.分析 計算出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求的值. 解析 因為，所以.因為

3、曲線在點處的切線平行于軸， 故其斜率為，故. 3. (20xx天津文20）設(shè)， 已知函數(shù) （1）證明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； （2）設(shè)曲線在點處的切線相互平行， 且 證明：. 3. 分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)證明；（2）利用（1）的結(jié)論、直線平行的條件用 參數(shù)表示出用換元法證明結(jié)論. 解析 證明：（1）設(shè)函數(shù) ①由于從而當時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. ②由于所以當時，；當時，.即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 綜合①②及可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. （2）由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單

4、調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 因為曲線在點處的切線相互平行，從而互不相等，且不妨設(shè)由 可得解得 從而 設(shè)則 由解得 所以 設(shè)則因為所以 故即 4. (20xx陜西文21）已知函數(shù). （1）求的反函數(shù)的圖象上點處的切線方程； （2）證明：曲線與曲線有唯一公共點； （3）設(shè)，比較與的大小，并說明理由. 4.分析 確定反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；將兩曲線的公共點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零 點個數(shù)問題來解決；利用作差法比較大?。? 解析 （1）解：的反函數(shù)為，設(shè)所求切線的斜率為． 因為，所以，于是在點處的切線方程為. （2）證法一：曲線與曲線公共點的個數(shù)等于函數(shù)零點的個

5、數(shù)．因為，所以存在零點. 又，令,則. 當時，，所以在上單調(diào)遞減； 當時，，所以在上單調(diào)遞增， 所以在處有唯一的極小值，即在上的最小值為. ，所以在上是單調(diào)遞增的，所以在上有唯一的零點，故曲線與曲線有唯—的公共點． 證法二：因為，，所以曲線與曲線公共點的個數(shù)等于曲線與公共點的個數(shù)． 設(shè)，則，即當時，兩曲線有公共點． 又， 所以在上是單調(diào)遞減，所以與有唯一的公共點，故曲線與曲線有唯—的公共點． （3）解： . 設(shè)函數(shù)，則，所以，所以單調(diào)遞增． 當時，．令，則得． 又，所以 5. (20xx福建文22）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）. （1）若曲線在點處的切線平行于軸

6、，求的值； （2）求函數(shù)的極值； （3）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值. 5.分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率；（2）討論字母的取值；（3）先構(gòu)造函數(shù)再結(jié)合函數(shù) 的零點存在性定理求解. 解析 解法一：（1）由，得.又曲線在點處的切線平行于軸，得，即，解得. （2）. ①當時，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值. ②當時，，得.，；，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，無極大值. 綜上，當時，函數(shù)無極值； （3）當時，.令，則直線與曲線沒有公共點，等價方程在上沒有實數(shù)解. 假設(shè)，此時，. 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點存在性定理，可知在

7、上至少有一個解，與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾，故. 又時，，知方程在上沒有實數(shù)解.所以的最大值為. 解法二“（1）（2）同解法一. （3）當時，. 直線與曲線沒有公共點，等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解，即關(guān)于的方程： （*） 在上沒有實數(shù)解. ①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數(shù)解. ②當時，方程（*）化為. 令，則有. 令，得， 當變化時，，的變化情況如下表： 當時，，同時當趨于時，趨于，從而的取值范圍為. 所以當時，方程（*）無實數(shù)解，解得的取值范圍是. 綜合①

8、②，得的最大值為. 6.（20xx陜西文10）如圖所示，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖灣曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為（ ） . A. B. C. D. 7.（20xx新課標Ⅰ文12）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 8. （20xx廣東文11）曲線在點處的切線方程為________. 9.（20xx江蘇11）在平面直角坐標系中，若曲線 （為常數(shù)）過點，且該曲線在點處的切線與直

9、線平行，則的值是 ． 10.（20xx江西文11）若曲線上點處的切線平行于直線，則點的坐標是 . 11. （20xx安徽文15）若直線與曲線滿足下列兩個條件： （1）直線在點處與曲線相切； （2）曲線在點附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線. 下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）. ① 直線在點處“切過”曲線：； ② 直線在點處“切過”曲線：； ③ 直線在點處“切過”曲線：； ④ 直線在點處“切過”曲線：； ⑤ 直線在點處“切過”曲線：. 11. 解析 ①直線在處與曲線相切，

10、且曲線位于直線的兩側(cè)，①對；②直線不是曲線在處的切線，②錯；③中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，即是增函數(shù)，又，從而當時，，當時，，即曲線在附近位于直線的兩側(cè)，③正確；④中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，且，同③得④正確；⑤中，，因此曲線在處的切線為，設(shè)，則，當時，，當時，，因此當時，，因此曲線在附近位于直線的一側(cè)，故⑤錯誤.因此答案為①③④. 評注 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，解題時結(jié)合圖像可簡化運算和推理的過程. 12.（20xx重慶文19）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線. （1）求的值； （2）求函數(shù)的單

11、調(diào)區(qū)間和極值. 13.（20xx四川文19）(本小題滿分12分) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖像上. （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）若，函數(shù)的圖像在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和. 14.（20xx四川文21）(本小題滿分14分) 已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù). （1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； （2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求證：. 15. （20xx新課標Ⅱ文21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為. （1）求； （2）求證：當時，曲線與直線只有一個交點. 16.（20xx新課標Ⅰ卷文14）

12、已知函數(shù)的圖像在點處的切線過 點，則 . 16. 解析 ，，所以切線方程為. 又過點，即，解得. 17.（20xx新課標2卷文16）已知曲線在點處的切線與曲線 相切，則 . 17. 解析 根據(jù)題意，曲線在點處的切線斜率為，故切線方程為，與聯(lián)立得，顯然，所以由判別式得. 評注 由導(dǎo)數(shù)的意義求函數(shù)問題是基本的研究方法，函數(shù)問題首先要考慮定義域的范圍，含有參數(shù)一般要對參數(shù)進行分類討論. 18.（20xx陜西文15）函數(shù)在其極值點處的切線方程為____________. 18. 解析 ，令，此時.函數(shù)在其極值點處的切線方程為. 19.（20xx四川文15

13、）已知函數(shù)，（其中）.對于不相等的實數(shù)，設(shè)，，現(xiàn)有如下命題： ①對于任意不相等的實數(shù)，都有； ②對于任意的及任意不相等的實數(shù)，都有； ③對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得； ④對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得. 其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號). 19. 解析 對于，因為恒成立，故正確； 對于，取，即，當時，，故錯誤； 對于，令，即. 記，則. 存在，使得，可知函數(shù)先減后增，有最小值. 因此，對任意的，不一定成立.故錯誤； 對于，由，即. 令，則恒成立，即是單調(diào)遞增的函數(shù). 當時，；當時，. 因此對任意的，存在與函數(shù)有

14、交點.故正確. 綜上可知，正確. 20.（20xx山東文20（1））設(shè)函數(shù)，. 已知曲線在 點處的切線與直線平行. 求的值； 20. 解析 由題意知，曲線在點處的切線斜率為2， 所以.又，所以. 21.（20xx山東文10）若函數(shù)的圖像上存在兩點，使得函數(shù)的圖像在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（ ）. A. B. C. D. 21. A 解析 因為函數(shù)，的圖像上任何一點的切線的斜率都是正數(shù)；函數(shù)的圖像上任何一點的切線的斜率都是非負數(shù)，所以在這三個函數(shù)的圖像上都不可能存在這樣的兩點，使得在這兩點處的

15、切線互相垂直，即不具有性質(zhì).利用排除法. 故選A. 22.（20xx全國丙文16）已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是___________________. 22. 解析 當時，，又因為為偶函數(shù)，所以，，，所以曲線在點處的切線方程. 23.（20xx全國甲文20）已知函數(shù). （1）當時，求曲線在處的切線方程； （2）若當時，，求的取值范圍. 23.解析 （1）當時，，因此， ，，所以曲線在點處的切線方程為 ，即，得. （2）解法一：從必要條件做起. 因為，對于，， 又，則，得. 當時，，， 又，因此在上單調(diào)遞增， 所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，證畢.

16、 綜上所述，的取值范圍是. 解法二（目標前提法）：若對于，，顯然不等式恒成立的前提條件是，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即對恒成立，得. 設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以. 再證當時，不等式不恒成立. 因為，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，令，則，使得，函數(shù)在上單調(diào)遞減.又，所以對于，與題意中對于，不恒成立，故舍去. 綜上所述，的取值范圍是. 解法三：直接從最值的角度轉(zhuǎn)化. 本題對于，，則只須對于，. 因為，，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又. 若，即，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，滿足題意. 若，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減， 則，不滿足題意. 綜上所述，的取值范圍是. 24

17、.（20xx全國1文14）曲線在點處的切線方程為 . 24.解析 設(shè)，則，所以，所以曲線在處的切線方程為，即. 25..（20xx北京文20）已知函數(shù). （1）求曲線在點處的切線方程； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 25.解析 . （1），，則曲線在點處的切線方程為. （2）. 因為，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，. 26.（20xx山東文20）已知函數(shù). （1）當時，求曲線在點處的切線方程； （2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值. 26.解析 由題意，. （1）當時，，，

18、所以， 因此，曲線在點處的切線方程是，即. （2）因為，所以. 令，則 ，所以在上單調(diào)遞增. 因為，所以當時，；當時，. ①當時，， 當時，，，單調(diào)遞增； 當時，，，單調(diào)遞減； 當時，，，單調(diào)遞增. 所以，當時，取到極大值，極大值是， 當時，取到極小值，極小值是. ②當時，. 當時，，單調(diào)遞增. 所以，在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值. ③當時，. 當時，，，單調(diào)遞增； 當時，，，單調(diào)遞減； 當時，，，單調(diào)遞增. 所以，當時，取到極大值，極大值是； 當時，取到極小值，極小值是. 綜上所述，當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是； 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； 當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是. 27.（20xx天津文10）已知，設(shè)函數(shù)的圖像在點處的切線為，則在軸上的截距為 . 27.解析 ，切點為，，則切線的斜率為，切線方程為，即.令，得，則在軸上的截距為. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org