高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 課時規(guī)范練10　冪函數(shù)

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1、 課時規(guī)范練10　冪函數(shù) 一、選擇題 1.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn),則f(4)的值為(　　) A.16 B. C. D.2 答案:C 解析:由已知,得=2α,即2α=,∴α=-, ∴f(x)=.∴f(4)=. 2.設(shè)<1,則下列不等關(guān)系成立的是(　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 答案:C 解析:<1?1>b>a>0,在A和B中,y=ax(0<a<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的,則aa>ab,所以結(jié)論不

2、成立;在C中,y=xn(n>0)在(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的,又a<b,則aa<ba,即ab<aa<ba. 3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(　　)[來源:] A.y=x3 B.y=cos x C.y= D.y=ln|x| 答案:D 解析:y=x3是奇函數(shù),排除A選項(xiàng);y=cos x在(0,+∞)不單調(diào),排除B;y==x-2在(0,+∞)單調(diào)遞減,排除C.故選D. 4.設(shè)a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù)”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條

3、件[來源:] C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:A 解析:函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù),等價于0<a<1(符合a>0且a≠1);函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù),等價于2-a>0,又a>0且a≠1,故0<a<1或1<a<2.故選A. 5.下列說法正確的是(　　) A.冪函數(shù)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù) B.任意兩個冪函數(shù)圖象都有兩個以上交點(diǎn) C.如果兩個冪函數(shù)的圖象有三個公共點(diǎn),那么這兩個冪函數(shù)相同 D.圖象不經(jīng)過(-1,1)的冪函數(shù)一定不是偶函數(shù) 答案:D 6.冪函數(shù)y=x-1及直線y=x,y=

4、1,x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“區(qū)域”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如圖所示),那么冪函數(shù)y=的圖象經(jīng)過的“區(qū)域”是(　　) A.④,⑦ B.④,⑧ C.③,⑧ D.①,⑤ 答案:D 解析:對冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α∈(0,1)時,其圖象在x∈(0,1)的部分在直線y=x上方,且圖象過點(diǎn)(1,1),當(dāng)x>1時其圖象在直線y=x下方,故經(jīng)過第①⑤兩個“區(qū)域”. 二、填空題 7.若函數(shù)f(x)=則f(f(f(0)))=　　　　　.  答案:1 解析:f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1. 8.由冪函數(shù)y=xn的圖象過點(diǎn)(8,2),

5、則這個冪函數(shù)的定義域是　　　　　.  答案:R 解析:由8n=2得到n=,冪函數(shù)y=的定義域?yàn)镽. 9.若y=是偶函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),則整數(shù)a的值是　　　　　.  答案:1,3,5或-1 解析:由題意,得a2-4a-9應(yīng)為負(fù)偶數(shù), 即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N*),(a-2)2=13-2k, 當(dāng)k=2時,a=5或-1; 當(dāng)k=6時,a=3或1.[來源:] 10.給出下列四個命題: ①函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=logaax(a>0,且a≠1)的定義域相同; ②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相

6、同; ③函數(shù)y=與y=都是奇函數(shù); ④函數(shù)y=(x-1)2與y=2x-1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數(shù). 其中正確命題的序號是　　　　　.  答案:①③ 解析:①中y=ax與y=logaax=x的定義域均為R; ②中y=x3的值域?yàn)镽,而y=3x的值域?yàn)?0,+∞); ③y=是奇函數(shù), y=也是奇函數(shù); ④y=(x-1)2在[0,+∞)上不單調(diào),y=2x-1在[0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),故①③正確. 11.已知冪函數(shù)y=xα,α∈的圖象過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在直線=1(m>0,n>0)上,則log2=　　　　　.  答案:1 解析:由冪函數(shù)的

7、圖象知y=xα,α∈的圖象恒過定點(diǎn)A(1,1),[來源:] 又點(diǎn)A在直線=1(m>0,n>0)上,∴=1. ∴l(xiāng)og2=log2=log22=1. 三、解答題 12.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足=3,求f的值. 解:依題意設(shè)f(x)=xα(α∈R),則有=3,即2α=3,得α=log23,則f(x)=,于是f. 13.已知f(x)=(m2+m)·,當(dāng)m取什么值時, (1)f(x)是正比例函數(shù); (2)f(x)是反比例函數(shù); (3)在第一象限內(nèi)它的圖象是上升曲線. 解:(1)由題意知 解得m=1±. (2)由題意知 解得m=0(舍)或m

8、=2,故m=2. (3)由題意知 解得m∈(-∞,-1)∪(1+,+∞). 14.函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象的示意圖如圖所示,設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)請指出示意圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)? (2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由. (3)結(jié)合函數(shù)圖象示意圖,請把f(8),g(8),f(2 011),g(2 011)四個數(shù)按從小到大的順序排列. 解:(1)由圖象可知C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)

9、=x3,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x. (2)a=1,b=9,因?yàn)閒(1)=2>g(1)=1,f(2)=4<g(2)=8,[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 所以x1∈[1,2],即a=1. f(3)=8<g(3)=27,f(4)=16<g(4)=64,f(5)=32<g(5)=125,…,f(9)=512<g(9)=729,f(10)=1 024>g(10)=1 000, 所以x2∈[9,10],即b=9. (3)由題意可得,f(8)<g(8)<g(2 011)<f(2 011). 15.已知函數(shù)f(x)=(a>0,x>0

10、), (1)若f(x)在[1,2]上最小值為,求實(shí)數(shù)a的值. (2)當(dāng)m,n∈(0,+∞),f(x)在[m,n]上值域?yàn)閇-n,-m],求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)∵f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減, ∴ymin=f(2)=,解得a=4. (2)∵f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,∴ 即m,n是方程=-x的兩個正根, 等價于函數(shù)g(x)=ax2-x+a與x軸的正半軸有兩個交點(diǎn). ∵g(0)=a>0,對稱軸x=>0, ∴只需Δ>0,即1-4a2>0,解得0<a<. 四、選做題 1.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,則實(shí)數(shù)m

11、的取值范圍是(　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0) 答案:A 解析:∵0.71.3<0.70=1=1.30<1.30.7, ∴0.71.3<1.30.7,∴m>0. 2.已知冪函數(shù)f(x)=xα的部分對應(yīng)值如下表: x 1 f(x) 1 則不等式f(|x|)≤2的解集是　　　　　.  答案:{x|-4≤x≤4} 解析:由表知,∴α=,∴f(x)=. ∴|x≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 3.已知冪函數(shù)y=(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上函數(shù)值隨x的增大而減

12、小,求滿足(a+1<(3-2a的a的取值范圍. 解:∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減,∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱, ∴m2-2m-3是偶數(shù). 而22-2×2-3=-3為奇數(shù),12-2×1-3=-4為偶數(shù), ∴m=1. 而y=在(-∞,0),(0,+∞)上均為減函數(shù), ∴<(3-2a等價于a+1>3-2a>0,或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a. 解得a<-1或<a<. 故a的取值范圍為.