高考數(shù)學(xué)文大一輪復(fù)習(xí)檢測：第八章 平面解析幾何 課時作業(yè)54 Word版含答案

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1、課時作業(yè)54　拋物線 一、選擇題 1．拋物線y＝2x2的焦點坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，所以焦點坐標(biāo)是. 答案：C 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝9，其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，∴由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得2＋＝3，解得p＝2，故選A. 答案：A 3．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，

2、x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　) A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20 解析：由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，由拋物線的定義可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故選A. 答案：A 4．(2017·江西南昌一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線

3、PF與拋物線C的一個交點，若|FP|＝3|FQ|，則|QF|＝(　　) A. B. C．3 D．2 解析：設(shè)l與x軸的交點為M，過Q作QN⊥l，垂足為N，則△PQN∽△PFM，所以＝＝，因為|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故選A. 答案：A 5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于(　　) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 解析：方法1：若焦點弦AB⊥x軸， 則x1＝x2＝，所以x1x2＝； ∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴＝－4.

4、 方法2：若焦點弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB的直線方程為y＝k(x－)，聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，則x1x2＝.所以y1y2＝－p2.故＝－4. 答案：A 6．(2017·河北邯鄲一模)已知M(x0，y0)是曲線C：－y＝0上的一點，F(xiàn)是曲線C的焦點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若·<0，則x0的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(－1,1) 解析：由題意知曲線C為拋物線，其方程為x2＝2y，所以F，根據(jù)題意可知，N(x0,0)，x0≠0，＝，＝(0，－y0)，所以&

5、#183;＝－y0<0，即0<y0<，因為點M在拋物線上，所以有0<<，又x0≠0，解得－1<x0<0或0<x0<1，故選A. 答案：A 二、填空題 7．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線－＝1相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 解析：由題意知B，代入方程－＝1得p＝6. 答案：6 8．(2017·沈陽第一次質(zhì)檢)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當(dāng)∠AFO＝30°(O為坐標(biāo)原點)時，|PF|＝___

6、_____. 解析： 令l與y軸交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝.設(shè)P(x0，y0)，則|x0|＝，代入x2＝4y中，則y0＝，故|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 答案： 9．已知一條過點P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，則直線AB的方程為____________． 解析：依題意，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y＝2x1，y＝2x2，兩式相減得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 10．已知

7、拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F傾斜角為60°的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A，B兩點，則的值等于________． 解析：設(shè)|AF|＝m，|BF|＝n，則|BC|＝n，|AD|＝m，|AE|＝m－n，|AF|＋|BF|＝m＋n.在Rt△ABE中，由于∠BAE＝60°，所以cos60°＝，解得＝3，即的值等于3. 答案：3 三、解答題 11．如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程． 解：設(shè)直線OA的方程為y＝kx，k≠0

8、， 則直線OB的方程為y＝－x， 由得x＝0或x＝. ∴A點坐標(biāo)為，同理得B點坐標(biāo)為(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8， 可得 ②÷①得k6＝64，即k2＝4. 則p2＝＝. 又p>0，則p＝， 故所求拋物線方程為y2＝x. 12．(2017·湖南六校聯(lián)考)已知拋物線的方程為x2＝2py(p>0)，其焦點為F，點O為坐標(biāo)原點，過焦點F作斜率為k(k≠0)的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩條切線交于點M. (1)求·； (2)設(shè)直線MF與拋物線交于C，D兩點，且四邊形ACBD的面

9、積為p2，求直線AB的斜率k. 解：(1)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－2pkx－p2＝0，則 ∴·＝x1·x2＋y1·y2＝－p2. (2)由x2＝2py，知y′＝，∴拋物線在A，B兩點處的切線的斜率分別為，，∴直線AM的方程為y－y1＝(x－x1)，直線BM的方程為y－y2＝(x－x2)，則可得M.∴kMF＝－，∴直線MF與AB相互垂直．由弦長公式知，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2p(k2＋1)，用－代替k得，|CD|＝2p，四邊形ACBD的面積S＝·|AB|·|CD|＝2p2

10、＝p2，解得k2＝3或k2＝，即k＝±或k＝±. 1．(2017·廣西質(zhì)檢)過點P(－2,0)的直線與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，且|PA|＝|AB|，則點A到拋物線C的焦點的距離為(　　) A. B. C. D．2 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別過A，B作直線y＝－2的垂線，垂足分別為D，E.∵|PA|＝|AB|，∴又得x1＝，則點A拋物線C的焦點的距離為1＋＝. 答案：A 2．(2016·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|P

11、M|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A. B. C. D．1 解析：設(shè)P(，t)，易知F(，0)，則由|PM|＝2|MF|，得M(，)，當(dāng)t＝0時，直線OM的斜率k＝0，當(dāng)t≠0時，直線OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號，于是直線OM的斜率的最大值為，選C. 答案：C 3．(2017·廣東深圳一模)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，且傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點(0,2)，則p等于________． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x0，y0)，則y＝2p

12、x1，y＝2px2，兩式相減，得(y1＋y2)·＝2p，即2y0×1＝2p，所以y0＝p，又AB的方程為y＝x－，所以x0＝p，即M，代入AB的中垂線y＝－x＋2，可得p＝. 答案： 4．(2017·安徽合肥一檢)設(shè)A，B為拋物線y2＝x上相異兩點，其縱坐標(biāo)分別為1，－2，分別以A，B為切點作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點P. (1)求點P的坐標(biāo)； (2)M為A，B間拋物線段上任意一點，設(shè)＝λ＋μ，試判斷＋是否為定值．如果為定值，求出該定值；如果不是定值，請說明理由． 解：(1)知A(1,1)，B(4，－2)，設(shè)點P坐標(biāo)為(xP，yP)，切線l1：y－1＝k(x－1)，聯(lián)立由拋物線與直線l1相切，解得k＝.即l1：y＝x＋.同理，l2：y＝－x－1，聯(lián)立l1，l2的方程，可解得即點P的坐標(biāo)為. (2)設(shè)M(y，y0)，且－2≤y0≤1，由＝λ＋μ，得＝λ＋μ.即 解得 故＋＝＋＝1，即＋為定值1.