【大師特稿】北京市高考壓軸卷：數(shù)學(xué)理試卷Word版含解析

2017北京市高考壓軸卷 理科數(shù)學(xué) 第一部分（選擇題共40分） 一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.設(shè)集合，，則 （ ） A． B． C． D． 2.等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3.已知雙曲線C的離心率為2，焦點為、，點A在C上，若，則（ ） A． B． C． D． 4.若向量滿足：則 （ ） A．2 B． C．1 D． 5. 已知函數(shù)的一個對稱中心是，且，要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像( ) 向左平移個單位長度 向左平移個單位長度 向右平移個單位長度 向右平移個單位長度 6.若則（ ） A. B. C. D.1 7.已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球，從乙盒中隨機(jī)抽取個球放入甲盒中. （a）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為； （b）放入個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為. 則 A. B. C. D. 8. 已知點P為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題（共6個小題，每題5分，共30分） 9.執(zhí)行右側(cè)的程序框圖，若輸入，則輸出 . 10.若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是 . 11.當(dāng)實數(shù)，滿足時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________. 12.已知曲線C：，直線l：x=6。若對于點A（m，0）,存在C上的點P和l上的點Q使得，則m的取值范圍為 。 13.在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線與曲線，（為參數(shù)）交于、兩點，且，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線的極坐標(biāo)方程是________. 14. 若函數(shù),,則不等式的解集是______. 三、解答題（共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程） 15.（本小題滿分13分） 已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，c＝asin C－ccos A. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. 16. （本小題滿分13分） 某校高一年級學(xué)生舉行 了“跳繩、短跑、乒乓球”三項體育健身活動，要求每位同學(xué)至少參加一項活動，高一（1）班50名學(xué)生參加健身活動的項數(shù)統(tǒng)計如圖所示。 （I） 從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動項數(shù)不相等的概率。 （Ⅱ）從該班中任意選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動項數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E. （Ⅲ）從該班中任意選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動項數(shù)之和，記“函數(shù)=在區(qū)間（3,5）上有且只有一個零點”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。 17.（本小題滿分13分） 如圖，三棱柱中，點在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，，. （I）證明：； （II）設(shè)直線與平面的距離為，求二面角的大小. 18.（本小題滿分13分） 已知函數(shù). (1) 當(dāng)時，求的極值； (2) 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍. 19.(本題滿分14分) 如圖，設(shè)橢圓動直線與橢圓只有一個公共點，且點 在第一象限. （1） 已知直線的斜率為，用表示點的坐標(biāo)； （2） 若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為. 20.（本小題滿分 14 分） 設(shè)實數(shù)，整數(shù)，. （I）證明：當(dāng)且時，； （Ⅱ）數(shù)列滿足，，證明：． 試卷答案 1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.B【解析】設(shè)，則，，所以. 7.A【解析】 8.C 9. 【答案】 【解析】 10. 【答案】． 11. 【答案】 【解析】 12. 【答案】 【解析】 13. 14. 【答案】 15. 　 【答案】(1)由c＝asin C－ccos A及正弦定理，得 sin Asin C－cos A·sin C－sin C＝0， 由于sin C≠0，所以sin＝， 又0<A<π，所以－<A－<，故A＝. (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2. 由于sin C≠0，所以sin＝， 又0<A<π，所以－<A－<，故A＝. (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2. 16. 17.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又， 平面．連結(jié)，∵側(cè)面為菱形，故，由三垂線定理得；（II）平面平面，故平面平面．作為垂足，則平面．又直線∥平面，因而為直線與平面的距離，．∵為的角平分線，故．作為垂足，連結(jié)，由三垂線定理得，故為二面角的平面角．由得為的中點，∴二面角的大小為． 解法二：以為坐標(biāo)原點，射線為軸的正半軸，以長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)知與軸平行，軸在平面內(nèi)． （I）設(shè)，由題設(shè)有則由得，即（①）．于是． （II）設(shè)平面的法向量則即． 故，且．令，則，點到平面的距離為．又依題設(shè)，點到平面的距離為．代入①解得（舍去）或．于是．設(shè)平面的法向量，則，即，故且．令，則．又為平面的法向量，故，∴二面角的大小為． 18.（1）當(dāng)時，的定義域為 令，解得 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增； 所以，當(dāng)時，取得極小值；當(dāng)時，取得極大值。 （2） 在上單調(diào)遞增且不恒等于0對x恒成立……………………7分 ……………………………………8分 ……………………………………10分 ……………………………………11分 ……………………………………12分 19.[ Ⅰ ] [ Ⅱ ] 20.（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)時，，原不等式成立． ②假設(shè)時，不等式成立， 當(dāng)時， ． 所以時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當(dāng)時，對一切整數(shù)，不等式均成立． （Ⅱ）證法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)時，由題設(shè)知成立． ②假設(shè)（）時，不等式成立． 由易知，． 當(dāng)時，． 由得． 由（Ⅰ）中的結(jié)論得， ． 因此，即. 所以時，不等式也成立． 綜合①、②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立． 再由可得，即． 綜上所述，． 證法2：設(shè)，則，并且 ． 由此可得，在[)上單調(diào)遞增， 因而，當(dāng)時，． ①當(dāng)時，由，即可知 ，并且， 從而． 故當(dāng)時，不等式成立． ②假設(shè)（）時，不等式成立，則 當(dāng)時，，即有． 所以，時，原不等式也成立． 綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立．