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1、2017北京市高考壓軸卷
理科數(shù)學
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題:本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.設集合,,則 ( )
A. B. C. D.
2.等比數(shù)列中,,則數(shù)列的前8項和等于 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.已知雙曲線C的離心率為2,焦點為、,點A在C上,若,則( )
A. B. C.
2、 D.
4.若向量滿足:則 ( )
A.2 B. C.1 D.
5. 已知函數(shù)的一個對稱中心是,且,要得到函數(shù)的圖像,可將函數(shù)的圖像( )
向左平移個單位長度 向左平移個單位長度
向右平移個單位長度 向右平移個單位長度
6.若則( )
A. B. C. D.1
7.已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有個紅球和個籃球,從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中.
(a)放入個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為;
(b)放入個球后,從甲盒中取1個球是紅球的概率記為.
則
A.
3、 B.
C. D.
8. 已知點P為函數(shù)的圖象上任意一點,點為圓上任意一點,則線段的長度的最小值為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(共6個小題,每題5分,共30分)
9.執(zhí)行右側的程序框圖,若輸入,則輸出 .
10.若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù),則的取值范圍是 .
11.當實數(shù),滿足時,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是________.
12.已知曲線C:,直線l:x=6。若對于點A(m,0),存在C上的點P和l上的點Q使得,則
4、m的取值范圍為 。
13.在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線與曲線,(為參數(shù))交于、兩點,且,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,則直線的極坐標方程是________.
14. 若函數(shù),,則不等式的解集是______.
三、解答題(共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程)
15.(本小題滿分13分)
已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,c=asin C-ccos A.
(1)求A; (2)若a=2,△ABC的面積為,求b,c.
16. (本小題滿分13分)
某校高一年級學生舉行 了“跳繩、短跑、乒乓
5、球”三項體育健身活動,要求每位同學至少參加一項活動,高一(1)班50名學生參加健身活動的項數(shù)統(tǒng)計如圖所示。
(I) 從該班中任意選兩名學生,求他們參加活動項數(shù)不相等的概率。
(Ⅱ)從該班中任意選兩名學生,用表示這兩人參加活動項數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列及數(shù)學期望E.
(Ⅲ)從該班中任意選兩名學生,用表示這兩人參加活動項數(shù)之和,記“函數(shù)=在區(qū)間(3,5)上有且只有一個零點”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。
17.(本小題滿分13分)
如圖,三棱柱中,點在平面ABC內的射影D在AC上,,.
(I)證明:;
(II)設直線與平面的距離為,求二面角的大小.
18.(本
6、小題滿分13分)
已知函數(shù).
(1) 當時,求的極值;
(2) 若在區(qū)間上單調遞增,求b的取值范圍.
19.(本題滿分14分)
如圖,設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點,且點
在第一象限.
(1) 已知直線的斜率為,用表示點的坐標;
(2) 若過原點的直線與垂直,證明:點到直線的距離的最大值為.
20.(本小題滿分 14 分)
設實數(shù),整數(shù),.
(I)證明:當且時,;
(Ⅱ)數(shù)列滿足,,證明:.
試卷答案
1.B 2.C 3.A 4.B 5.C
6.B【解析】設,則,,所以.
7.A【解析】
8.C
9. 【答案】
【解析】
10
7、. 【答案】.
11. 【答案】
【解析】
12. 【答案】
【解析】
13.
14. 【答案】
15. 【答案】(1)由c=asin C-ccos A及正弦定理,得
sin Asin C-cos A·sin C-sin C=0,
由于sin C≠0,所以sin=,
又0<A<π,所以-<A-<,故A=.
(2)△ABC的面積S=bcsin A=,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8,解得b=c=2.
由于sin C≠0,所以sin=,
又0<A<π,所以-<A-<
8、;,故A=.
(2)△ABC的面積S=bcsin A=,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8,解得b=c=2.
16.
17.解:解法一:(I)平面,平面,故平面平面.又,
平面.連結,∵側面為菱形,故,由三垂線定理得;(II)平面平面,故平面平面.作為垂足,則平面.又直線∥平面,因而為直線與平面的距離,.∵為的角平分線,故.作為垂足,連結,由三垂線定理得,故為二面角的平面角.由得為的中點,∴二面角的大小為.
解法二:以為坐標原點,射線為軸的正半軸,以長為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系.由題設知與軸平行,軸在平面內.
(I
9、)設,由題設有則由得,即(①).于是.
(II)設平面的法向量則即.
故,且.令,則,點到平面的距離為.又依題設,點到平面的距離為.代入①解得(舍去)或.于是.設平面的法向量,則,即,故且.令,則.又為平面的法向量,故,∴二面角的大小為.
18.(1)當時,的定義域為
令,解得
當時,,所以在上單調遞減;
當時,,所以在上單調遞增;
所以,當時,取得極小值;當時,取得極大值。
(2) 在上單調遞增且不恒等于0對x恒成立……………………7分
……………………………………8分
……………………………………10分
……………………………………11分
…………………
10、…………………12分
19.[ Ⅰ ]
[ Ⅱ ]
20.(Ⅰ)證:用數(shù)學歸納法證明
①當時,,原不等式成立.
②假設時,不等式成立,
當時,
.
所以時,原不等式也成立.
綜合①②可得,當時,對一切整數(shù),不等式均成立.
(Ⅱ)證法1:先用數(shù)學歸納法證明.
①當時,由題設知成立.
②假設()時,不等式成立.
由易知,.
當時,.
由得.
由(Ⅰ)中的結論得,
.
因此,即.
所以時,不等式也成立.
綜合①、②可得,對一切正整數(shù),不等式均成立.
再由可得,即.
綜上所述,.
證法2:設,則,并且
.
由此可得,在[)上單調遞增,
因而,當時,.
①當時,由,即可知
,并且,
從而.
故當時,不等式成立.
②假設()時,不等式成立,則
當時,,即有.
所以,時,原不等式也成立.
綜合①②可得,對一切正整數(shù),不等式均成立.