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1、專題升級訓練 復數、框圖、合情推理
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.(2013湖北,理1)在復平面內,復數z=(i為虛數單位)的共軛復數對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.閱讀下面的程序框圖,若輸出s的值為-7,則判斷框內可填寫( )
A.i<3? B.i<4?
C.i<5? D.i<6?
3.(2013福建,文8)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序.如果輸入某個正整數n后,輸出的S∈(10,20),那么n的值為( )
A.3
B.4
C.5
D
2、.6
4.復數的共軛復數是a+bi(a,b∈R),i是虛數單位,則ab的值是( )
A.-7 B.-6
C.7 D.6
5.觀察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…,則52 014的末四位數字為( )
A.3125 B.5625[來源:]
C.0625 D.8125
6.如圖所示的三角形數陣是由整數的倒數組成的,第n行有n個數且兩端的數均為(n≥2),其余每個數是它下一行左右相鄰兩數的和,如,…,則第7行第4個數(從左往右數)為( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.下表是某工廠10
3、個車間2013年2月份產量的統(tǒng)計表,1到10車間的產量依次記為A1,A2,…,A10(如:A2表示2號車間的產量為900件).如圖是統(tǒng)計表中產量在一定范圍內車間個數的一個算法流程圖.那么算法流程圖輸出的結果是 .
車間
1
2
3
4
5
產量/件
1100
900
950
850
1500
車間
6
7
8
9
10
產量/件
810
970
900
830
1300
8.兩點等分單位圓時,有相應正確關系為sinα+sin(π+α)=0;三點等分單位圓時,有相應正確關系為sinα+sin+sin=0.由此可以推知:四點等分單位
4、圓時的相應正確關系為 .
9.(2013北京東城模擬,14)數列{an}的各項排成如圖所示的三角形形狀,其中每一行比上一行增加兩項,若an=an(a≠0),則位于第10行的第8列的項是 ,a2 014在圖中位于 .(填第幾行的第幾列)
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)已知x,y為共軛復數,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.
11.(本小題滿分15分)已知函數f(x)=,g(x)=.
(1)求證:f(x)是奇函數;
(2)分別計算f(4)-5f(2)g(2),f
5、(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函數f(x)和g(x)對所有不等于0的實數x都成立的一個等式,并證明.
12.(本小題滿分16分)數列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2,n=1,2,3,….
(1)求a3,a4,并求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=,Sn=b1+b2+…+bn,證明≤Sn<2.
##
1.D 解析:∵z==i(1-i)=1+i,
∴復數z=的共軛復數=1-i,其在復平面內對應的點(1,-1)位于第四象限.
2.D 解析:i=1,s=2;
s=2-1=1,i=1+2=3;
s=1-3=-2,i=3+2=5;
s=-2
6、-5=-7,i=5+2=7.[來源:]
因輸出s的值為-7,循環(huán)終止,故判斷框內應填“i<6?”,故選D.
3.B 解析:若n=3,則輸出S=7;若n=4,則輸出S=15,符合題意.故選B.
4.C 解析:設z==7-i,
∴=7+i=a+bi,得a=7,b=1,
∴ab=7.
5.B 解析:由觀察易知55的末四位數字為3125,56的末四位數字為5625,57的末四位數字為8125,58的末四位數字為0625,59的末四位數字為3125,故周期T=4.又由于2 014=5034+2,因此52 014的末四位數字是5625.[來源:]
6.A 解析:由“第n行有n個數且兩端的數均
7、為(n≥2)”可知,第7行第1個數為,由“其余每個數是它下一行左右相鄰兩數的和”可知,第7行第2個數為,同理,第7行第3個數為,第7行第4個數為.
7.5 解析:該算法流程圖輸出的是月產量大于900件的車間的個數,由月產量統(tǒng)計表可知,n=5.
8.sinα+sin+sin(α+π)+sin=0 解析:由類比推理可知,四點等分單位圓時,α與α+π的終邊互為反向延長線,α+與α+的終邊互為反向延長線,如圖.
[來源:]
9.a89 第45行的第78列 解析:由題意知前10行有1+3+5+…+19=100(項),前9行有1+3+5+…+17=81(項).
故第10行第8列對應的項應為數列{
8、an}的第89項,故為a89.
此三角形陣前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n2(項),
又1 936=442<2 014<452=2 025,
∴a2 014應位于第45行第78列.
10.解:設x=a+bi(a,b∈R),則y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根據復數相等得
解得故所求復數為
11.(1)證明:f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),
又f(-x)==-=-f(x),
故f(x)是奇函數.
(2)解:計算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,于是
9、猜測f(x2)-5f(x)g(x)=0(x∈R且x≠0).
證明:f(x2)-5f(x)g(x)=-5=0.
12.解:(1)因為a1=1,a2=2,
所以a3=a1+sin2
=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.
一般地,當n=2k-1(k∈N*)時,
a2k+1=a2k-1+sin2=a2k-1+1,
即a2k+1-a2k-1=1.
所以數列{a2k-1}是首項為1、公差為1的等差數列,
因此a2k-1=k.[來源:]
當n=2k時,a2k+2=a2k+sin2=2a2k.
所以數列{a2k}是首項為2、公比為2的等比數列,因此a2k=2k.
故數列{an}的通項公式為an=
(2)由(1)知,bn=,
Sn=+…+,①
Sn=+…+,②
①-②得,Sn=+…+
==1-.
所以Sn=2-=2-<2.
又Sn+1-Sn=>0,
所以Sn+1>Sn,即{Sn}是遞增數列.
故≤Sn<2.
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