萬(wàn)變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修二、三：專題六 概率 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1．概率與頻率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A)． 2．事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號(hào)表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B,那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事

2、件(和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對(duì)立事件 若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件 A∩B＝?且A∪B＝Ω 3.概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率：P(A)＝1． (3)不可能事件的概率：P(A)＝

3、0． (4)概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)對(duì)立事件的概率 若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1,P(A)＝1－P(B)． 4．基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件都是互斥的． (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 5．古典概型 (1)特點(diǎn)： ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè),即有限性． ②每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等,即等可能性． (2)概率公式： P(A)＝． 6．幾何概型 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣

4、的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型． 7．幾何概型的概率公式 P(A)＝ 二、題之本：思想方法技巧 1.概率與頻率的關(guān)系 (1)頻率是一個(gè)隨機(jī)數(shù),在試驗(yàn)前是不能確定的. (2)概率是一個(gè)確定數(shù),是客觀存在的,與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān). (3)頻率是概率的近似值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率,因而概率是頻率的穩(wěn)定值. 2.互斥事件、對(duì)立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件是兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的事件； ②對(duì)立事件首先是互斥事件,且必有一個(gè)發(fā)生. (2)利用集合的觀點(diǎn)來(lái)判斷 設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A,B, ①事件A與B互斥,即集合A

5、∩B＝?； ②事件A與B對(duì)立,即集合A∩B＝?,且A∪B＝I(全集),也即A＝?IB或B＝?IA； ③對(duì)互斥事件A與B的和A＋B,可理解為集合A∪B. 3.求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法 一是直接法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接法,先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式P(A)＝1－P(A),即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解,應(yīng)用此公式時(shí),一定要分清事件的對(duì)立事件到底是什么事件,不能重復(fù)或遺漏.特別是對(duì)于含“至多”“至少”等字眼的題目,用第二種方法往往顯得比較簡(jiǎn)便. 4.古典概型是概率論中最簡(jiǎn)單而又直觀的模型,在概率論的發(fā)展初期

6、曾是主要研究對(duì)象,許多概率的運(yùn)算法則都是在古典概型中得到證明的(遂謂之“古典”).要判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,只需要判斷這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性. 5.求古典概型的概率 (1)對(duì)于事件A的概率的計(jì)算,關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個(gè)方面的問(wèn)題：第一,本試驗(yàn)是否是等可能的；第二,本試驗(yàn)的基本事件數(shù)有多少個(gè)；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個(gè). (2)如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來(lái),然后再求出事件A中的基本事件數(shù),利用公式P(A)＝求出事件A的概率,這是一個(gè)形象直

7、觀的好方法,但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重不漏. (3)如果基本事件個(gè)數(shù)比較多,列舉有一定困難時(shí),也可借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)直接計(jì)算m,n,再運(yùn)用公式P(A)＝求概率. (4)較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題可以直接使用古典概型概率公式計(jì)算,較為復(fù)雜的概率問(wèn)題的處理方法有： ①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解； ②采用間接法,先求事件A的對(duì)立事件A的概率,再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率. 6.幾何概型是古典概型的補(bǔ)充和推廣,它要求隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間包含無(wú)窮多個(gè)元素,每個(gè)基本事件由在幾何空間(一維、二維、三維)中的某一區(qū)域G內(nèi)隨機(jī)而取的點(diǎn)的位置來(lái)確定；而“基本事

8、件發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的”這一要求,兩種概率模型是高度統(tǒng)一的. 7.高考對(duì)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下四個(gè)命題角度： (1)與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型； (2)與時(shí)間有關(guān)的幾何概型； (3)與不等式有關(guān)的幾何概型； (4)與距離有關(guān)的幾何概型． 8.解決幾何概型問(wèn)題,注意把握好以下幾點(diǎn)： (1)能正確區(qū)分古典概型與幾何概型. 例1：在區(qū)間上任意取一個(gè)整數(shù)x,則x不大于3的概率為_(kāi)_______. 例2：在區(qū)間上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則x不大于3的概率為_(kāi)_______. 例1的基本事件總數(shù)為有限個(gè)11,不大于3的基本事件有4個(gè),此為古典概型,故所求概率為.例2的基本事件總數(shù)

9、為無(wú)限個(gè),屬于幾何概型,所求概率為. (2)準(zhǔn)確分清幾何概型中的測(cè)度. 例1：在等腰Rt△ABC中,∠C＝90,在直角邊BC上任取一點(diǎn)M,求∠CAM＜30的概率. 例2：在等腰Rt△ABC中,∠C＝90,在∠CAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作射線交線段BC于點(diǎn)M,求∠CAM＜30的概率. 例1中的測(cè)度定性為線段長(zhǎng)度,當(dāng)∠CAM0＝30,CM0＝AC＝CB.滿足條件的點(diǎn)M等可能的分布在線段CM0上,故所求概率等于＝.例2中的測(cè)度定性為角度,過(guò)點(diǎn)A作射線與線段CB相交,這樣的射線有無(wú)數(shù)條,均勻分布在∠CAB內(nèi),∠CAB＝45.所以所求概率等于＝＝. (3)科學(xué)設(shè)計(jì)變量,數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題. 例1：某人

10、午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率. 例2：某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,求表停的分鐘數(shù)與實(shí)際分鐘數(shù)差異不超過(guò)5分鐘的概率. 例1是《必修3》P136的例題,此題中的變量(單變量)可看作是時(shí)間的長(zhǎng)度,故所求概率為＝.例2容易犯解例1形成的定勢(shì)思維的錯(cuò)誤,得到錯(cuò)誤答案＝.原因在于沒(méi)有認(rèn)清題中的變量,本題的變量有兩個(gè)：手表停的分鐘數(shù)和實(shí)際分鐘數(shù),都可取內(nèi)的任意時(shí)刻,故所求概率需用到面積型幾何概型,由|x－y|≤5結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)可解,所求概率為＝.通過(guò)這兩道例題我們也可以看出,單變量多用線型測(cè)度,多變量需用面積(或體積)型測(cè)度.在畫好幾何圖形后,

11、利用數(shù)形結(jié)合思想解題. 9.幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn),如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)限多個(gè)等可能的基本結(jié)果,每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來(lái)表示,而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω,這時(shí),與試驗(yàn)有關(guān)的問(wèn)題可考慮利用幾何概型解決. 三、題之變：課本典例改編 1. 原題（必修3第127頁(yè)例3）改編 將一骰子拋擲兩次,所得向上點(diǎn)數(shù)分別為和,則函數(shù) 在上為增函數(shù)的概率是 . 【解析】本題考察了古典概型概率的求法及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí).易得函數(shù) 的

12、增區(qū)間為和,由已知可得,,故 .拋兩次的骰子的所有可能種數(shù)為36種,則滿足條件的有30種,所以所求概率為. 2. 原題（必修3第130頁(yè)練習(xí)第3題）改編 甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率. 【解析】（1）從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,所有可能的結(jié)果為（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲男1,乙女1）、（甲男1,乙女2）、（甲男2,乙女1）、（甲男2,乙女2）

13、、（甲女,乙女1）,(甲女,乙女2),（甲女,乙男）,共9種；選出的2名教師性別相同的結(jié)果有（甲男1,乙男）、（甲男2,乙男）、（甲女,乙女1）、（甲女,乙女2）共4種所以選出的2名教師性別相同的概率為 . 3. 原題（必修3第134頁(yè)習(xí)題3.2B組第3題）改編 假設(shè)每個(gè)人在任何一個(gè)月出生是等可能的,則三個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日在同一個(gè)月的概率為 . 【解析】方法一：－；方法二：. 4. 原題（必修3第140頁(yè)例4）改編 如圖,直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),分別作AC、BD垂直x軸于C、D兩點(diǎn),從梯形ABDC中任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為_(kāi)______

14、_；利用隨即模擬方法也可以計(jì)算圖中陰影部分面積,若通過(guò)1000次試驗(yàn)產(chǎn)生了落在梯形ABDC內(nèi)的1000個(gè)點(diǎn),則可估計(jì)落 在陰影部分內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)大約有________個(gè). 5. 原題（必修3第140頁(yè)練習(xí)第1題）改編 如圖所示,墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板,它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心,為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的.某人向此板投標(biāo),假設(shè)每次都能擊中木板,且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣,則它擊中某人向此板投標(biāo),假設(shè)每次都能擊中木板,且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣, 則它擊中陰影部分的概率是 . 【解析】本題考查幾何概型的概率的計(jì)算,因?yàn)檎叫蔚拿娣e為,而陰影部分的面積不易直接計(jì)算,所以先計(jì)算空白部分的面積為,從而得陰影部分的面積為.根據(jù)幾何概型的概率公式,可得 . 6. 原題（必修3第142頁(yè)習(xí)題3.3A組第3題）改編 一個(gè)路口的紅綠燈,紅燈的時(shí)間為30秒,黃燈的時(shí)間為5秒,綠燈的時(shí)間為40秒,當(dāng)你到達(dá)路口時(shí),不需要等待就可以過(guò)馬路的概率為 . 【解析】概率為.