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1、
專題升級(jí)訓(xùn)練 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
(時(shí)間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.在空間中,下列命題正確的是( )
A.平行直線的平行投影重合
B.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行
C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行
D.垂直于同一平面的兩條直線平行
2.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,則下列命題正確的是( )
A.若l⊥m,m?α,則l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C.若l∥α,m?α,則l∥m
D.若l∥α,m∥α,則l∥m
3.已知平面α∩β=l,m是α內(nèi)不同于l的直線,下列命題錯(cuò)誤
2、的是( )
A.若m∥β,則m∥l
B.若m∥l,則m∥β
C.若m⊥β,則m⊥l
D.若m⊥l,則m⊥β
4.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,AD上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),則( )
[來(lái)源:]
A.BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形
5.下列命題正確的是( )
A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行
B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)
3、到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行
C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行
D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行
6.如圖,在四面體ABCD中,已知DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC兩兩互相垂直,在該四面體表面上與點(diǎn)A距離為的點(diǎn)形成一條曲線,則這條曲線的長(zhǎng)度是( )
A.π B.π C.π D.π
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,則直線PC與AB所成角的大小是 .
8.如圖,矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面AB
4、CD,PA=2,現(xiàn)有數(shù)據(jù):①a=;②a=1;③a=;④a=4,當(dāng)BC邊上存在點(diǎn)Q,使PQ⊥QD時(shí),可以取 (填正確的序號(hào)).
9.如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A,B),直線PA垂直于圓O所在的平面,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).有以下四個(gè)命題:
①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC;
③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正確的命題是 (填上所有正確命題的序號(hào)).
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)
5、為a的正方形,E,F分別為PC,BD的中點(diǎn),側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.
11.(本小題滿分15分)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,M,N,G分別是棱CC1,AB,BC的中點(diǎn),且CC1=AC.
(1)求證:CN∥平面AMB1;
(2)求證:B1M⊥平面AMG.
12.(本小題滿分16分)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
(1)
6、證明直線BC∥EF;
(2)求棱錐F-OBED的體積.
##
1.D
2.B 解析:兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于該平面,故選B.
3.D 解析:對(duì)于A,由定理“若一條直線平行于一個(gè)平面,經(jīng)過(guò)這條直線的平面與已知平面相交,那么這條直線平行于交線”可知,A正確.對(duì)于B,由定理“若平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線平行于這個(gè)平面”可知,B正確.對(duì)于C,由定理“一條直線垂直于一個(gè)平面,那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線”可知,C正確.對(duì)于D,若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直,這條直線未必垂直于這個(gè)平面,因此D不正確.綜上所述,選D.
4.B 解析
7、:由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFBD.所以EF∥面BCD.又H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),所以HGBD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四邊形EFGH是梯形,故選B.
5.C 解析:若兩條直線和同一平面所成的角相等,則這兩條直線可平行、可異面、可相交.選項(xiàng)A不正確;
如果到一個(gè)平面距離相等的三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上或在這個(gè)平面的兩側(cè),則經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面與這個(gè)平面相交,選項(xiàng)B不正確;
如圖,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,過(guò)直線a作平面ε∩α=c,過(guò)直線a作平面γ∩β=d,∵a∥α,∴a∥c.∵a∥β,∴a∥d.∴d∥c.∵c?α,d?α,∴d∥α,又∵d?β,∴d∥b,∴a∥b
8、,選項(xiàng)C正確;
若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面可平行、可相交,選項(xiàng)D不正確.
6.D 解析:在Rt△ADH中,由于AD=1,AH=,所以DH=.所以∠DAH=,∠BAH=,所以在面DAB中,曲線段EH的長(zhǎng)為π.同理,曲線段FG的長(zhǎng)也為π.在面ABC中,曲線段EF的長(zhǎng)為π.在面DBC中,曲線段GH的長(zhǎng)為π,所以這條曲線的總長(zhǎng)度為π2+π+π=π,故選D.
7.60 解析:分別取PA,AC,CB的中點(diǎn)F,D,E,連接FD,DE,EF,AE,則∠FDE是直線PC與AB所成角或其補(bǔ)角.
設(shè)PA=AC=BC=2a,在△FDE中,易求得FD=a,DE=a,FE=a,
根據(jù)余弦定理
9、,得cos∠FDE==-,
所以∠FDE=120.
所以直線PC與AB所成角的大小是60.
8.①② 解析:如圖,連接AQ,
因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ.
又PQ⊥QD,所以AQ⊥QD.
故Rt△ABQ∽R(shí)t△QCD.
令BQ=x,則有,
整理得x2-2x+a2=0.
由題意可知方程x2-2x+a2=0有正實(shí)根,所以0
10、A.
又∵PA?平面PAD,EF?平面PAD,[來(lái)源:]
∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,
∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PA.
又∵PA=PD=AD,∴△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD.
又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面PCD.
又∵PA?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
11.證明:(1)取AB1的中點(diǎn)P,連接NP,MP.
∵CMAA1,NPAA1,∴CMNP.
∴四邊形CNPM是平行四邊形.
∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1,MP?平面AMB1,
∴CN∥平面
11、AMB1.[來(lái)源:]
(2)∵CC1⊥平面ABC,
∴平面CC1B1B⊥平面ABC.
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,
∴B1M⊥AG.[來(lái)源:]
∵CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥AC,CC1⊥BC.
設(shè)AC=2a,則CC1=2a.
在Rt△MCA中,AM=a.
同理,B1M=a.
∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
∴AB1==2a,[來(lái)源:]
∴AM2+B1M2=A,∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG.
12.(1)證明:設(shè)G是線段DA與EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn).由于△OAB與△ODE都是正三角形,所以O(shè)BDE,OG=OD=2.
同理,設(shè)G是線段DA與FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn),有OG=OD=2.
又由于G和G都在線段DA的延長(zhǎng)線上,
所以G與G重合.
在△GED和△GFD中,由OBDE和OCDF,可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn),
所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60,知S△EOB=,而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形,故S△OED=,
所以S四邊形OBED=S△EOB+S△OED=.
過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥DG,交DG于點(diǎn)Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱錐F-OBED的高,且FQ=,
所以VF-OBED=FQS四邊形OBED=.
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