文科 第六章 數(shù)列 第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列

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1、第6章 數(shù)列 第1節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列 題型70 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解 1. (2013安徽文7）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 借助等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式的性質(zhì)，計(jì)算數(shù)列的公差，進(jìn)而得到的值. 解析 由等差數(shù)列性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，得，所以. 又，所以公差，所以.故選A. 2. （2013遼寧文14）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項(xiàng)和.若是方 程的兩個(gè)根，則 . 2. 解析：因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，且數(shù)列是遞增

2、的等比數(shù)列，所 以，，，所以. 3. （2013四川文16）在等比數(shù)列中，，且為和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的首項(xiàng)、公比及前項(xiàng)和. 3．分析 由已知列出兩個(gè)含和的方程并求解，再借助等比數(shù)列求和公式得． 解析 設(shè)該數(shù)列的公比為． 由已知，得所以解得（舍去） 故首項(xiàng)，公比.所以數(shù)列的前項(xiàng)和. 4. （2013山東文20）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 4.分析 （1）由于已知是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量表示已知等式，進(jìn)而求 出的通項(xiàng)公式.（2）先求出，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求的 前項(xiàng)和. 解析 （1）

3、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)為，公差為. 由，，得 解得因此. （2）由已知， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.所以. 由（1）知，所以. 所以. . 兩式相減，得，所以. 5.（2013浙江19）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列. （1）求，； （2）若，求 5.分析 （1）用把表示出來(lái)，利用成等比數(shù)列列方程即可解出， 進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出.（2）根據(jù)（1）及確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，確定 的符號(hào)，以去掉絕對(duì)值符號(hào)，這需要對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論. 解析（1）由題意得，，由，為公差為的等差數(shù)

4、列得， ，解得或.所以或.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為. 因?yàn)?，由?）得，，所以當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，. 綜上所述， 6.（2014重慶文2）在等差數(shù)列中，，則（ ）. 7.（2014江蘇7）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則的值是 ． 8.（2014新課標(biāo)Ⅰ文17）（本小題滿分12分） 已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 9. （2014山東文19）（本小題滿分12分） 在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項(xiàng). （1）求數(shù)列的通項(xiàng)

5、公式； （2）設(shè)，記，求. 10.（2014福建文17）（本小題滿分12分） 在等比數(shù)列中，. （1）求； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 11.（2014浙江文19）已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為，，. （1）求及； （2）求的值，使得. 12.（2015北京文5）執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的值為（ ）. A.3 B. 4 C.5 D.6 12.解析 解法一:執(zhí)行程序框圖， ，， ，， ，， ，， 輸出.故選B. 解法二：由算法圖知是一個(gè)以3為首項(xiàng)

6、，為公比的等比數(shù)列，即，解得. 13.（2015全國(guó)文7）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（ ）. A. B. C. D. 13.解析 解法一：由，，知， 解得.所以.故選B. 解法二：由，即，可得. 又公差，所以，即，解得. 則.故選B. 14.（2015全國(guó)1文13）在數(shù)列中，，為的前n項(xiàng)和.若，則 . 14.解析 由，得，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列. ，得. 15.（2015全國(guó)Ⅱ文9）已知等比數(shù)列滿足，，則（ ）. A.

7、 B. C. D. 15.解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得，即，則 .所以有， 所以.故 .故選C. 16.（2015陜西文13）中位數(shù)為的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為，則該數(shù)列的 首項(xiàng)為________. 16.解析 若這組數(shù)有個(gè)，則，，又， 所以；若這組數(shù)有個(gè)，則，， 又，所以. 17.（2016江蘇8）已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.若，，則的值是 . 17.20解析 設(shè)公差為，則由題意可得，解得，則. 18.（2016全國(guó)甲文17）等差數(shù)列中，，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，

8、求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，. 18.解析 （1），解得，所以（）. （2） . 19.（2017江蘇9）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)的和為，已知，，則 ． 19.解析 解法一：由題意等比數(shù)列公比不為，由，因此，得． 又，得，所以．故填． 解法二（由分段和關(guān)系）：由題意，所以，即．下同解法一． 20.（2017全國(guó)1文17）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列. 20.解析 （1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以， 數(shù)列的通項(xiàng)

9、公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數(shù)列． 21.（2017全國(guó)2文17）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，. （1）若，求的通項(xiàng)公式； （2）若，求. 21.解析 (1)設(shè)的公差為，的公比為. 由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，解得， 故的通項(xiàng)公式為. (2)由(1)及已知得，解得或. 所以或. 22.（2017北京文15）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求和：． 22解析 （1）設(shè)的公差為， ，所以，所以. （2） 設(shè)的公比為，=，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以. 題型71

10、 等差、等比數(shù)列的求和問(wèn)題的拓展 1.（2013廣東文11） 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則 ． 1.分析 由首項(xiàng)和公比寫出等比數(shù)列的前項(xiàng)，然后代入代數(shù)式求值.也 可以構(gòu)造新數(shù)列，利用其前項(xiàng)和公式求解. 解析 方法一：. 方法二：因?yàn)椋瑪?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為. 2.（2015安徽理13） 已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的 前9項(xiàng)和等于 . 2.解析 由題意可得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 所以.又滿足上式，所以， 所以.所以. 題型72 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 1. （2013遼寧文4 ）

11、下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題： 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列； 其中的真命題為 A. B. C. D. 1.分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定. 解析 因?yàn)椋?，所以是真命題．因?yàn)?，但是的符?hào)不知道，所以是假命題.同理是假命題． 由，所以是真命題．故選D. 2. （2013江西文12）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于棵，若第一天植棵，以后每天植樹 的棵樹是前一天的倍，則需要的最少天數(shù)（）等于 . 2.解析 每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的

12、等比數(shù)列，其前項(xiàng)和 .由，得.由于， 則，即. 3. （2013江蘇14） 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足 的最大正整數(shù)的值為 . 3. 分析 首先由已知條件求出的公比與首項(xiàng)，然后根據(jù)求和公式和通項(xiàng)公式將不等式的 兩邊求出，用表示，得到關(guān)于的不等式，然后對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求得的取值范圍并 進(jìn)行估算和驗(yàn)證，從而得到的最大值. 解析 設(shè)的公比為，則由已知可得解得 于是，. 由可得，整理得. 由可得，即， 解得，即，可以驗(yàn)證當(dāng)時(shí)滿足，時(shí)不滿足，故的最大值為12. 4.(2013重慶文12） 若成等差數(shù)列，則

13、 . 4.分析 利用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)先求出公差再運(yùn)算求解. 解析 由題意得該等差數(shù)列的公差，所以. 5. (2013陜西文17）設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和. （1）若是等差數(shù)列，推導(dǎo)的計(jì)算公式； （2）若，且對(duì)所有正整數(shù)，有.判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 5.分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)倒序相加求和；等比數(shù)列的證明通過(guò)定義進(jìn)行. 解析 （1）方法一：設(shè)的公差為，則 . 又，所以，所以． 方法二：設(shè)的公差為，則 ． 又, 所以， 所以. （2）是等比數(shù)列.證明如下： 因?yàn)椋裕? 因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，有. 因此，是首項(xiàng)為且公比為的等比數(shù)列． 6

14、.（2014遼寧文9）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（ ） A． B． C． D． 7.（2014陜西文8）原命題為“若，則為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）. A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 8. （2014廣東文13）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 ________. 9.（2014江西文13）在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則的取值范圍是

15、 . 10.（2014陜西文16）（本小題滿分12分） 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為. （1）若成等差數(shù)列，求證：； （2）若成等比數(shù)列，且，求的值. 11.（2015廣東文13）若三個(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，， 則 ． 11.解析 因?yàn)槿齻€(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，所以. 因?yàn)?，所? 12.（2015全國(guó)Ⅱ文5） 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）. A. B. C. D. 12.解析 由已知，則，. 又因?yàn)?.故選A. 13.（2017江蘇19）對(duì)于給定的正整數(shù)，若數(shù)

16、列滿足對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”． （1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”； （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列． 13.解析 （1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，則， 從而當(dāng)時(shí)， ，， 所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”． （2）由數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”， 因此，當(dāng)時(shí)， ① 當(dāng)時(shí)， ② 由①知， ③ ④ 將

17、③④代入②，得，其中， 所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為． 在①中，取，則，所以， 在①中，取，則，所以，從而數(shù)列是等差數(shù)列． 評(píng)注 這是數(shù)列新定義的問(wèn)題，其實(shí)類似的問(wèn)題此前我們也研究過(guò)，給出僅供參考． （2015南通基地密卷7第20題）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若對(duì)任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“型”數(shù)列． （1）若數(shù)列是“型”數(shù)列，且，，求； （2）若數(shù)列既是“型”數(shù)列，又是“型”數(shù)列，證明數(shù)列是等比數(shù)列． 解析 （1）由題意得，成等比數(shù)列， 且公比，所以． （2）由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設(shè)公比為， 由是“型”數(shù)列得成等比數(shù)列，設(shè)公比為； 成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

18、 成等比數(shù)列，設(shè)公比為； 則，，， 所以，不妨令，則． 所以，， 所以， 綜上，從而是等比數(shù)列． 題型73 判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列 1.（2014江蘇20）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”． （1）若數(shù)列的前項(xiàng)和 ，求證：是“數(shù)列”； （2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差．若 是“數(shù)列”，求的值； （3）求證：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“數(shù)列”和，使得成立． 2.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，．已知，，， 且當(dāng)時(shí)，． （1）求的值； （2）求證：為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 2.解析 （1）當(dāng)

19、時(shí)，， 即，解得. （2）因?yàn)椋ǎ? 所以（）， 即（），亦即， 則. 當(dāng)時(shí)，，滿足上式. 故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列. （3）由（2）可得，即， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 所以，即， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是. 3.（2015湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，， 且. （1）證明：； （2）求. 3.解析（1）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即， 又，所以，故對(duì)一切，. （2）由（I）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以， 于是 ， 從而， 綜上所述，. 4.（20

20、15湖南文21）函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn). （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍. 4.解析（1）， 令，由，得，即， 若，即，則； 若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號(hào)總相反， 于是當(dāng)時(shí)，取得極值，所以， 此時(shí)，，易知， 而是常數(shù)， 故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. （2）對(duì)一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因?yàn)椋? 設(shè)，則，令得， 當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增； 因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，， 所以， 因此恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得， 故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 5.（2016浙江文8）如圖所示，點(diǎn)列分

21、別在某銳角的兩邊上，且， (表示點(diǎn)與不重合) .若，為的面積，則（ ）. A .是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是等差數(shù)列 D.是等差數(shù)列 5.A解析 設(shè)點(diǎn)到對(duì)面直線的距離為，則.由題目中條件可知的長(zhǎng)度為定值，則.那么我們需要知道的關(guān)系式，過(guò)點(diǎn)作垂直得到初始距離，那么和兩個(gè)垂足構(gòu)成了直角梯形，那，其中為兩條線的夾角，那么，由題目中條件知，則.所，其中為定值，所以為等差數(shù)列.故選A. 6.（2017全國(guó)1文17）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列. 6.解析 （1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為， 則，從而，即， 整理得，因此，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為． （2）由（1）知， 因此 ． 所以，，成等差數(shù)列． 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org