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1、
一、題之源：課本基礎知識
1.函數(shù)的零點
使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。例如是函數(shù)的一個零點。
注：函數(shù)有零點 函數(shù)的圖象與軸有交點 方程有實根
2.函數(shù)零點的判定：
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有。那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在。
3．函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，注意它是數(shù)而不是點．
4.基本函數(shù)模型：
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
二次函數(shù)模型
指數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)
對數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝
2、blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)
冪型函數(shù)模型
f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
5.解函數(shù)應用問題的步驟
(1)審題：數(shù)學應用問題的文字敘述長，數(shù)量關系分散且難以把握，因此，要認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問題的實際背景，收集整理數(shù)據(jù)信息，這是解答數(shù)學問題的基礎．
(2)建模：在明確了問題的實際背景和收集整理數(shù)據(jù)信息的基礎上進行科學的抽象概括，將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，合理引入自變量，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關知識建立函數(shù)關系式(也叫目標函數(shù))，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即實際問題數(shù)學化，建立數(shù)
3、學模型．
(3)解模：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問題(即數(shù)學模型或目標函數(shù))予以解答，求得結(jié)果．
(4)還原：將求解數(shù)學模型所得的結(jié)果還原為實際問題的意義，回答數(shù)學應用題提出的問題．
以上過程可以用示意圖表示為：
模擬函數(shù)的過程可以用下面框圖表示：
二、題之本：思想方法技巧
1.判斷函數(shù)在給定區(qū)間零點的步驟
(1)確定函數(shù)的圖象在閉區(qū)間上連續(xù)；
(2)計算f(a)，f(b)的值并判斷f(a)f(b)的符號；
(3)若f(a)f(b)＜0，則有實數(shù)解．
除了用上面的零點存在性定理判斷外，有時還需結(jié)合相應函數(shù)的圖象來作出判斷．
2．確定函數(shù)f(x)零點個數(shù)(方程f
4、(x)＝0的實根個數(shù))的方法：
(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)，一般由對應的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來完成；對于一些不便用判別式判斷零點個數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進行判斷．
(2) 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有f(a)f(b)＜0時，函數(shù)在(a，b)內(nèi)至少有一個零點，但不能確定究竟有多少個．要更準確地判斷函數(shù)在(a，b)內(nèi)零點的個數(shù)，還得結(jié)合函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性、極值等性質(zhì)進行判斷．如三次函數(shù)的零點個數(shù)問題．
(3)若函數(shù)f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)f(b)＜0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點．
(
5、4)對于解析式較復雜的函數(shù)的零點，可根據(jù)解析式特征，利用函數(shù)與方程思想化為f(x)＝g(x)的形式，通過考察兩函數(shù)圖像交點來確定零。
3.“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？例如：對一切恒成立，求a的取值范圍，你討論了a＝2的情況了嗎？
4.數(shù)模型的選擇
解題過程中選用哪種函數(shù)模型，要根據(jù)題目具體要求進行抽象和概括，靈活地選取和建立數(shù)學模型．一般
來說：如果實際問題的增長特點為直線上升，則選擇直線模型；若增長的特點是隨著自變量的增大，函數(shù)
值增大的速度越來越快(指數(shù)爆炸)，則選
6、擇指數(shù)型函數(shù)模型；若增長的特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值的
增大速度越來越慢，則選擇對數(shù)型函數(shù)模型；如果實際問題中變量間的關系，不能用同一個關系式表示，
則選擇分段函數(shù)模型等。另外，常見的出租車計費問題、稅收問題、商品銷售等問題，通常用分段函數(shù)模
型；面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題常選擇冪型函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)模型；而對于利率、細胞分裂、
物質(zhì)衰變，則常選擇指數(shù)型函數(shù)模型．
三、題之變：課本典例改編
26.原題（必修1第八十八頁例1）求函數(shù)的零點的個數(shù).
改編1 函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】
7、【解析】易知函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)?方程|log0.5x|＝＝x的根的個數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝x的圖象的交點個數(shù)．作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故選B．
改編2 已知函數(shù),若在區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個實數(shù),不等式恒成立，且在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值范圍為( )
【答案】
改編3函數(shù)y＝x－的零點個數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】在同一坐標系內(nèi)分別做出y1＝，y2＝的圖象，根據(jù)圖象可以看出交點的個數(shù)為1.故選B.
27.原題（必修1第
8、九十頁例2）借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確度0.1）.
改編1 用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________．
【解析】 ∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的連續(xù)函數(shù)，且f(0)<0，f(0.5)>0，則f(x)在x∈(0,0.5)上存在零點，且第二次驗證時需驗證f(0.25)的符號．
改編2 為了求函數(shù)的一個零點，某同學利用計算器得到自變量和函數(shù)的部分對應值（精確度0.1）如下表所示
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
9、
1.5625
－0.8716
－0.5788
－0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
則方程的近似解（精確到0.1）可取為（ ）
A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3
【答案】C.
28.原題（必修1第九十五頁例1）假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案？
改編1 某市一家商場的新年最高促銷獎設立了三
10、種領獎方式，這三種領獎方式如下：方式一：每天到該商場領取獎品，價值為40元；方式二：第一天領取的獎品的價值為10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天領取的獎品的價值為0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。若商場的獎品總價值不超過600元，則促銷獎的領獎活動最長設置為幾天？在領獎活動最長的情況下，你認為哪種領獎方式讓領獎者受益更多？
【解析】設促銷獎的領獎活動為天，三種方式的領取獎品總價值分別為。
則；；
要使獎品總價值不超過600元，則
解得
又 ，故
答：促銷獎的領獎活動最長可設置10天，在這10天內(nèi)選擇方式二會讓領獎者受益更多.
改編2 某家庭
11、進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．
(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系；
(2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？
29.原題（必修1第一百一十二頁復習參考習A組第七題）
改編1 如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．
12、
(1)設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求出該函數(shù)的定義域；
(2)求矩形BNPM面積的最大值．
改編2 已知線段的長為,以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形，若橢圓以為焦點，且經(jīng)過點，求橢圓的離心率的范圍．
【解析】梯形為圓內(nèi)接梯形，故其為等腰梯形，設，則在中，
由橢圓的定義知
離心率，其中，所以，故橢圓離心率
30.原題（必修1第一百一十三頁復習參考習A組第九題）某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時間的市場供應，若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始x月后，公司的存貨量大致滿足模型，那么下次生產(chǎn)應在多長時間后開始？
改編1 某公司每生產(chǎn)一批產(chǎn)品都能維持一段時間的市場供應，
13、在存貨量變?yōu)?的前一個月，公司進行下次生產(chǎn)。若公司本次新產(chǎn)品生產(chǎn)開始月后，公司的存貨量大致滿足模型，那么下次生產(chǎn)應在 月后開始．
【答案】兩個月.
改編2研究表明：使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據(jù)測，2010年、2011年、2012年大氣中的CO2濃度分別比2009年增加了1個可比單位、3個可比單位、6個可比單位．若用一個函數(shù)模擬每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)與年份增加數(shù)x的關系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)g(x)＝abx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，且又知2014年大氣中的CO2濃度比2009年增加了16個可比單位，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？
【解析】：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模擬函數(shù)，則依題意得：
解得p＝，q＝，r＝0，所以f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝abx＋c作模擬函數(shù)，則
解得a＝，b＝，c＝－3.
所以g(x)＝－3.
利用f(x)，g(x)對2014年的CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(5)＝15可比單位，g(5)＝17.25可比單位，
∵|f(5)－16|＜|g(5)－16|，故選f(x)＝x2＋x作為模擬函數(shù)較好．
萬變不離其宗：高中數(shù)學課本典例改編之必修一：專題六 函數(shù)的應用 Word版含解析
