高考數(shù)學 復習 文科 第三章導數(shù) 第2節(jié)導數(shù)的應用

《高考數(shù)學 復習 文科 第三章導數(shù) 第2節(jié)導數(shù)的應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學 復習 文科 第三章導數(shù) 第2節(jié)導數(shù)的應用（35頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第三章 導數(shù) 第2節(jié) 導數(shù)的應用 題型37 利用導函數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 1（20xx湖北文10）.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 1. 分析 由已知得有兩個正實數(shù)根，即的圖象與軸有兩 個交點，從而得的取值范圍. 解析 ，依題意有兩個正實數(shù)根. 設，函數(shù)有兩個零點，顯然當時不合題意， 必有；，令，得，于是在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，即，所以.故選B. 2． (20xx福建文12）設函數(shù)的定義域為，的極大值點，

2、以下結 論一定正確的是（ ）. A． B．是 的極小值點 C．是 的極小值點 D．是 的極小值點 2.分析 不妨取函數(shù)，則，易判斷為 的極大值點，但顯然不是最大值，故排除A. 解析 因為，易知，為的極大值點，故排除B； 又，易知，為的極大值點，故排除C； 因為的圖象與的圖象關于原點對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得應為函數(shù)的極小值點.故D正確. 3. (20xx安徽文20）設函數(shù)，其中，區(qū)間. （1）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）； （2）給定常數(shù)，當時，求長度的最小值. 3.解 同理科卷17題. 4.（20

3、xx江西文21）設函數(shù) 為常數(shù)且. (1)當時，求； (2)若滿足但，則稱為的二階周期點，證明函數(shù) 有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點，； (3)對于（2）中，，設，，，記的面積為，求在區(qū)間上的最大值和最小值. 4.分析 （1）根據(jù)自變量的取值求出相應的函數(shù)值；（2）根據(jù)自變量的取值和二階周期點 的定義解方程求出題目中的二階周期點；（3）根據(jù)（2）的結果用參數(shù)表示出三角形的面 積，通過導數(shù)求最值的方法得出最值. 解析 （1）當時，，. （2） 當時，由，解得2，因為，故不是的二階周期點； 當時，由解得. 因為， 故為的二階周期點； 當時，由解得

4、. 因為， 故不是的二階周期點； 當時，由解得. 因為， 故為的二階周期點. 因此，函數(shù)有且僅有兩個二階周期點，. （3）由（2）得，， 則，， 因為，有， 所以 （或令， ，因為 則在區(qū)間上的最小值為， 故對于任意，.） 則在區(qū)間上單調遞增， 故在區(qū)間上的最小值為，最大值為. 5. （20xx江蘇20） 設函數(shù)，，其中為實數(shù). （1）若在上是單調減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍； （2）若在上是單調增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結論. 5.分析（1）通過在上恒成立，在有解求得的取值范圍；（2）由在上恒成立得出的取值范圍，然后對進行討論，研究的

5、零點. 解析 解：（1）令，考慮到的定義域為，故， 進而解得，即在上是單調減函數(shù). 同理，在上是單調增函數(shù). 由于在上是單調減增函數(shù)，故，從而，即. 令，得. 當時，；當時，.又在上有最小值. 所以，即. 綜上可知，. （2）當時，必為單調增函數(shù)； 當時，令，解得，即.因為在上是單調增函數(shù)，類似（1）有，即. 結合上述兩種情況，得. ①當時，由以及，得存在唯一的零點； ②當時，由于，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點. 另外，當時，，故在上是單調增函數(shù)，所以只有一個零點. ③當時，令，解得.當時，；當時，，所以，是的最大值點，且最大值為. a.當，即時，有

6、一個零點. b.當，即時，有兩個零點.實際上，對于，由于.，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點. 另外，當時，，故在上是單調增函數(shù)，所以在上只有一個零點.下面考慮在上的情況.先證.為此，我們要證明：當時，. 設，則，再設，則. 當時，，所以在上是單調增函數(shù). 當時，，從而在上是單調增函數(shù)，進而當時，，即當時，. 當，即時，. 又，且函數(shù)在上的圖象連續(xù)，所以在上存在零點. 又當時，，故在上是單調減函數(shù)， 所以在上只有一個零點.綜合①②③可知，當或時，的零點個數(shù)為，當時，的零點個數(shù)為. 6. (20xx浙江文21）已知，函數(shù). （1）若，求曲線在點處的切線方程； （2）

7、若，求在閉區(qū)間上的最小值. 6.分析 （1）切點處的導數(shù)即為切線的斜率，求導后算出斜率，寫出切線方程即可.（2）要 確定 的最小值，因為的最值是由其單調性決定的，所以要先利用導數(shù)確定 的單調性，再確定極值和區(qū)間端點的函數(shù)值.由于所給區(qū)間中含有絕對值，因此要分類 討論. 解析 （1）當時，，所以.又因為，所以切線方程為，即. （2）記為 在閉區(qū)間上的最小值. .令，得. 當時， 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增 比較和的大小可得 當時，

8、 單調遞減 極小值 單調遞增 得. 綜上所述，在閉區(qū)間上的最小值為 7.（20xx重慶文19（1））已知函數(shù)在處取得極值. 確定的值； 7. 解析 求導得，因為在處取得極值，所以， 即，解得．經檢驗，是的極大值點. 8.（20xx安徽文21（2））已知函數(shù).若，求 在內的極值. 8. 分析 由（1）可知在內的極大值為，且在內無極小值. 解析 因為，由（1）可知在內的極大值為， 在內無極小值.故在內極大值為，無極小值. 9.（20xx北京文19（1））設函數(shù).求的單調區(qū)間和極值； 9. 解析 函數(shù)的定義域為，， 令，得，

9、當時，，函數(shù)在上單調遞減； 當時，，函數(shù)在上單調遞增. 當時，函數(shù)取得極小值. 10.（20xx湖南文21（1））函數(shù)，記為的從小到大 的第個極值點.證明：數(shù)列是等比數(shù)列； 10. 解析 令，由，得，即， 而對于，當時， 若，即，則； 若，即，則. 因此，在區(qū)間與上，的符號總相反， 于是當時，取得極值，所以， 此時，，易知， 而是常數(shù)， 故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. 11.（20xx新課標2卷文21(2)）已知函數(shù).當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍. 11. 分析 由(1)知當時，在上無最大值；當時，最大值為，因此，故.令，則在上是增函數(shù). 當

10、時，；當時，.因此的取值范圍是. 解析 由(1)知，當時，在上無最大值；當時，在處取得最大值，最大值為. 因此等價于. 令，則在上單調遞增，又. 于是，當時，；當時，. 因此，的取值范圍是. 評注 高考中對函數(shù)與導數(shù)的考查，主要體現(xiàn)用導數(shù)的工具性來解決函數(shù)性質問題，函數(shù)的性質是函數(shù)的終極內容，學習導數(shù)以后用導數(shù)這一工具可使求解更直接簡單，特別要注意函數(shù)的定義域和對參數(shù)進行討論. 12.（20xx山東文20 (3)）設函數(shù)，. 已知曲線在點 處的切線與直線平行.設函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值. 12.解析 由（2）知，方程在內存在唯一的根，且時，，時，，所以. 當時，若

11、，； 若，由，可知.故. 當時，由，可得時，，單調遞增；時，，單調遞減；故. 又，所以函數(shù)的最大值為. 13.已知是函數(shù)的極小值點，則（ ）. A. B. C. D. 13.D 解析 令得，或易知在上單調遞減，在上單調遞增，故極小值為，由已知得.故選D 14.（20xx山東文20）設，. （1）令，求的單調區(qū)間； （2）已知在處取得極大值，求實數(shù)的取值范圍. 14. 解析 （1）由，可得， 則， 當時，時，，函數(shù)單調遞增； 當時，時，，函數(shù)單調遞增；時，，函數(shù)單調遞減. 綜上所述，當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間

12、為； 當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，. ①當時， 單調遞增. 所以當時，，單調遞減.當時，，單調遞增. 所以在處取得極小值，不合題意. ②當時，，由（1）知在內單調遞增， 可得當時，，時，， 所以在內單調遞減，在內單調遞增，所以在處取得極小值，不合題意. ③當時，即時，在內單調遞增，在 內單調遞減， 所以當時，， 單調遞減，不合題意. ④當時，即 ，當時，，單調遞增， 當時，，單調遞減， 所以在處取得極大值，合題意. 綜上可知，實數(shù)的取值范圍為. 15.（20xx天津文20）設函數(shù)，，其中. （1）求的單調區(qū)間； （2）若存在

13、極值點，且，其中，求證：； （3）設，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于. 15.解析 （1）由，可得，下面分兩種情況討論： ①當時，有恒成立，所以在上單調遞增. ②當時，令，解得或. 當變化時，，的變化情況如表所示. 0 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，. （2）證明：因為存在極值點，所以由（1）知且. 由題意得，即，所以. 又，且， 由題意及（1）知，存在唯一實數(shù)滿足，且，因此，所以. （3）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示，兩數(shù)的最大值，下面分三種情況討論： ①當時

14、，由知在區(qū)間上單調遞減， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此， 所以 ②當時，， 由（1）和（2） 知，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為， 所以 . ③當時，， 由（1）和（2）知，， 所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此. 綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于. 16.（20xx北京文20）已知函數(shù). （1）求曲線在點處的切線方程； （2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 16.解析 . （1），，則曲線在點處的切線方程為. （2）. 因為，恒成立，所以在上單調遞減，且，所以，所以在上單調遞減，所以，. 17.（20xx山東文20）已知函數(shù). （1）當時，求

15、曲線在點處的切線方程； （2）設函數(shù)，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值. 解析 （1）由題意，. （1）當時，，，所以， 因此，曲線在點處的切線方程是，即. （2）因為，所以. 令，則 ，所以在上單調遞增. 因為，所以當時，；當時，. ①當時，， 當時，，，單調遞增； 當時，，，單調遞減； 當時，，，單調遞增. 所以，當時，取到極大值，極大值是， 當時，取到極小值，極小值是. ②當時，. 當時，，單調遞增. 所以，在上單調遞增，無極大值也無極小值. ③當時，. 當時，，，單調遞增； 當時，，，單調遞減； 當時，，，單調遞增. 所以，當時，取

16、到極大值，極大值是； 當時，取到極小值，極小值是. 綜上所述，當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是； 當時，函數(shù)在上單調遞增，無極值； 當時，函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是. 18.（20xx浙江20） 已知函數(shù). （1）求的導函數(shù)； （2）求在區(qū)間上的取值范圍. 18.解析 （1）因為 ，， 所以. （2）由，解得或. 當變化時，，的變化情況如下表所示. 1 0 0 ↘ 0 ↗ ↘ 又，，所以在區(qū)間上

17、的取值范圍是. 19.（20xx江蘇20）已知函數(shù)有極值，且導函數(shù)的極值點是的零點（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值）. （1）求關于的函數(shù)關系式，并寫出定義域； （2）證明：； （3）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍． 19.解析 （1）由，得， 當時，有極小值為． 因為的極值點是的零點， 所以，又，故． 當時，恒成立，即單調遞增， 所以此時不存在極值，不合題意． 因此，即，所以． 有兩個相異的實根，. 列表如下 x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點是，從而. 所以關于

18、的函數(shù)關系式為，定義域為． （2）解法一：由（1）知，即證明，即， 因為，所以問題等價于， 不妨設，則，不妨設， 易知在上單調遞增，且， 從而，即得證． 因此． 解法二（考試院提供）：由（1）知，． 設，則． 當時，，從而在上單調遞增． 因為，所以，故，即， 因此． （3）由（1）設的兩個實根為，且設， 且有，因此． 而的情況如下表所示： 極大值 極小值 所以的極值點是， 從而 ． 記，所有極值之和為， 因為的極值為，所以，． 處理方法一：因為，于是在上單調遞減． 因為，由，故．

19、 處理方法二：所以，整理得（必然可以猜測零點）， ，因此． 因此的取值范圍為． 評注 ①此題第（2）問考查的是數(shù)值大小的比較，常見的有作差法、作商法、兩邊平方比較法，此題采用作商（考試院解法二）化簡函數(shù)達到簡化效果，可見對于壓軸問題，方法的選擇是非常關鍵的． ②第（3）問實際考查的是函數(shù)零點的應用，下面提供此前我們做過的兩個類似習題供參考． 案例1：已知函數(shù)，若函數(shù)存在極值，且所有極值之和小于，則實數(shù)的取值范圍是 ． 解析 因為， 設，當時，恒成立， 所以單調遞減，故不存在極值； 所以，設的兩根為（不妨設）， 從而，因此同號， 所以問題等價于在

20、上有兩個不相等的實數(shù)根， 因此，從而． 所以的所有極值之和為 ， 因此，解得，又，所以實數(shù)的取值范圍是． ④另外，如果熟悉三次函數(shù)對稱中心，此題還可以作如下考慮： 即，，， 令，則，所以該三次函數(shù)的對稱中心為． 因此有 ． 這里可以采用假算的思想，即寫出簡單過程，省去中間過于復雜的運算過程，直接寫出結果即可，這需要平時積累一些有價值的素材． 案例2：（徐州15-16高二下學期期末文20）已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)． （1）若，求曲線在點處的切線方程； （2）求函數(shù)的單調區(qū)間； （3）若存在實數(shù)，且，使得，求證：． 解析 （1）若，則，， 所以切線斜率為，又，

21、所以在點處的切線方程為． （2），． ①當時，恒成立，所以的單調增區(qū)間為； ②當時，令，得或， 所以的單調增區(qū)間為和， 同理的單調減區(qū)間為； ③當時，令，得． 所以的單調增區(qū)間為，同理的單調減區(qū)間為． （3）由題意可知，是方程的兩根， 則，， 所以． 令，． 則恒成立，所以在上單調遞減， 所以，即． 題型38 利用導函數(shù)研究函數(shù)的圖像 1.（20xx浙江7）函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）. 1.解析 導數(shù)大于零，原函數(shù)單調遞增，導數(shù)小于零，原函數(shù)單調遞減，對照導函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像.故選D． 題型39 恒成立與存在性問題 1

22、. (20xx遼寧文21）（1）證明：當時，； （2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 1.分析 利用構造法，分別判斷與，與的大小關系；利用比較法或構造函數(shù)，通過導數(shù)求解范圍. 解析 （1）證明：記，則， 當時，，在上是增函數(shù)； 當時，，在上是減函數(shù). 又，，所以當時，，即. 記，則當時，，所以在上是減函數(shù)，則,即． 綜上，，. （2）解法一：因為當時， ， 所以，當時，不等式對恒成立． 下面證明，當時，不等式對不恒成立. 因為當時， , 所以存在 滿足， 即當時，不等式對不恒成立. 綜上，實數(shù)的取值范圍是． 解法二：記，則 . 記，則

23、. 當時，，因此． 于是在上是減函數(shù)，因此，當時，，故當時，，從而在上是減函數(shù)，所以，即當時，不等式對恒成立. 下面證明，當時，不等式對不恒成立. 當時，，所以當時，， 因此在上是增函數(shù)，故； 當時，． 又，故存在使，則當時，，所以在上是增函數(shù)，所以當時，． 所以當時，不等式，對不恒成立. 綜上，實數(shù)的取值范圍是. 2.（20xx福建文22）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為. （1）求的值及函數(shù)的極值； （2）求證：當時， （3）求證：對任意給定的正數(shù)c，總存在，使得當時，恒有 3. （20xx廣東文21）(本小題滿

24、分14分) 已知函數(shù). （1） 求函數(shù)的單調區(qū)間； （2） 當時，試討論是否存在，使得. 4.（20xx江蘇23）（本小題滿分10 分） 已知函數(shù)，設為的導數(shù)，． （1）求的值； （2）求證：對任意的，等式都成立． 5.（20xx遼寧文21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. 求證：（1）存在唯一，使； （2）存在唯一，使，且對（1）中的，有. 6.（20xx天津文19）（本小題滿分14分） 已知函數(shù). （1）求的單調區(qū)間和極值； （2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍. 7. （20xx浙江文21）函數(shù)，若在上的最小值記為. （1）求； （2）求

25、證：當時，恒有. 8.（20xx陜西文21）（本小題滿分14分） 設函數(shù). （1） 當（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值； （2） 討論函數(shù)零點的個數(shù)； （3）若對任意，恒成立，求m的取值范圍. 9.（20xx福建文12）“對任意，”是“”的（ ）. A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 9. 解析 當時，，構造函數(shù)，. 則，故在上單調遞減， 故，則； 當時，不等式等價于， 構造函數(shù)，則， 故在上單調遞減，故，則. 綜上所述，“對任意，”是“”的必要不充分條件.故選B. 10.（

26、20xx福建文22（3））已知函數(shù)．確定實數(shù)的所有可能取值， 使得存在，當時，恒有． 10. 分析 由（2）知，當時，不存在滿足題意；當時，對于， 有，則，從而不存在滿足題意；當時，構造函數(shù)，，利用導數(shù)研究函數(shù)的形狀，只要存在，當時，即可． 解析 由（2）知，當時，不存在滿足題意； 當時，對于，有，則， 從而不存在滿足題意. 當時，令，， 則有． 由得，． 解得（舍），． 當時，，故在上單調遞增． 從而當時，，即. 綜上，的取值范圍是． 11.（20xx湖南文21（2））函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點.若對一切恒成立，求的取值范圍. 11. 解析 對一切恒成立，

27、即恒成立，亦即恒成立（）， 設，則，令得， 當時，，所以在區(qū)間上單調遞減； 當時，，所以在區(qū)間上單調遞增； 因為，且當時，， 所以， 因此恒成立，當且僅當，解得， 故實數(shù)的取值范圍是. 12.（20xx四川文21（2））已知函數(shù)，其中. 求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內有唯一解. 12. 解析 由，解得， 令. 則，，所以存在，使得. 令，其中. 由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增. 故，即. 當時，有，， 再由（1）可知，在區(qū)間上單調遞增. 當時，，所以； 當時，，所以. 又當時，，故時，. 綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內有唯一解. 13.（2

28、0xx全國甲文20）已知函數(shù). （1）當時，求曲線在處的切線方程； （2）若當時，，求的取值范圍. 13. 解析 （1）當時，，因此， ，，所以曲線在點處的切線方程為 ，即，得. （2）解法一：從必要條件做起. 因為，對于，， 又，則，得. 當時，，， 又，因此在上單調遞增， 所以，即函數(shù)在上單調遞增， 所以，證畢. 綜上所述，的取值范圍是. 解法二（目標前提法）：若對于，，顯然不等式恒成立的前提條件是，在上單調遞增，即在上恒成立，即對恒成立，得. 設，則，所以函數(shù)在上單調遞增，則，所以. 再證當時，不等式不恒成立. 因為，，所以函數(shù)在上單調遞增.又，令，則，

29、使得，函數(shù)在上單調遞減.又，所以對于，與題意中對于，不恒成立，故舍去. 綜上所述，的取值范圍是. 解法三：直接從最值的角度轉化. 本題對于，，則只須對于，. 因為，，，所以函數(shù)在上單調遞增. 又. 若，即，，函數(shù)在上單調遞增，，滿足題意. 若，即，令，則函數(shù)在上單調遞減， 則，不滿足題意. 綜上所述，的取值范圍是. 14.（20xx四川文21）設函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù). （1）討論的單調性； （2）求證：當時，； （3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內恒成立. 14.解析 （1）函數(shù)的定義域為，. 當時，，在內單調遞減. 當時，由，得 當時，，單調遞

30、減； 當時，，單調遞增. （2）要證明當時，，即，等價于證明當時，. 構造輔助函數(shù)，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞增， 所以當時，，因此，當時，，即，即. （3）依題意，當時，函數(shù)在上單調遞減，且，則對于，. 又，，則對于，恒有，因此不滿足題意. 令，且. 因為對于，恒成立. 又， 所以，設. 且 ，因此在區(qū)間上單調遞增. 又因為，所以當時，恒成立，即恒成立. 綜上所述，的取值范圍為. 15.（20xx全國1文21）已知函數(shù). （1）討論的單調性； （2）若，求的取值范圍. 15.解析 （1）. ①當時，恒成立，所以在上單調遞增； ②當時，恒成立，令，則，

31、 故，所以在上單調遞增，在上單調遞減； ③當時，恒成立，令，則，即， 所以，所以在上單調遞增，同理在上單調遞減． （2）①當時，恒成立，符合題意； ②當時，， 故，即； ③當時， ， 從而，故，所以． 綜上所述，的取值范圍為． 16.（20xx全國2文21）設函數(shù). （1）討論的單調性； （2）當時，，求的取值范圍. 16.解析 （1）. 令，得，解得，.所以當時，，當或時，，所以在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù). （2）因為時，，所以.所以，令，則，即時，，而，所以，所以，. 再令，，當時，恒成立. 所以在上是增函數(shù)，恒有，從而是增函數(shù)，，，在上恒成立，故

32、即為所求. 17.（20xx天津文19）設，.已知函數(shù)，. （1）求的單調區(qū)間； （2）已知函數(shù)和的圖像在公共點處有相同的切線. （i）求證：在處的導數(shù)等于0； （ii）若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍. 17.解析 （1）由. 可得， 令，解得或.由，得. 當變化時，，的變化情況如下表所示. 所以，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為. （2）（i）因為，由題意知， 所以，解得. 所以，在處的導數(shù)等于0. （ii）因為，，由，可得. 又因為，，故為的極大值點，由（1）知. 另一方面，由于，故. 由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，在上恒成立，從而在上恒成立. 由，得，. 令，，所以. 令，解得（舍去）或.所以當時，，當，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減. 因為，，，故的值域為. 所以的取值范圍是. 歡迎訪問“高中試卷網”——http://sj.fjjy.org