高中數(shù)學(xué)人教A必修5學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)5 三角形中的幾何計(jì)算 含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（五） (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知方程x2sin A＋2xsin B＋sin C＝0有重根，則△ABC的三邊a，b，c的關(guān)系滿足(　　) A．b＝ac B．b2＝ac C．a(chǎn)＝b＝c D．c＝ab 【解析】　由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin Asin C＝0，即sin2B＝sin Asin C，∴b2＝ac. 【答案】　B 2．在△ABC中，A＝60，b＝1，S△ABC＝，則角A的對(duì)邊的長(zhǎng)為(　　) A. B. C. D． 【解析】　∵S△ABC＝bcsin A＝1csin 60

2、＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos 60＝1＋16－214＝13. ∴a＝. 【答案】　D 3．在△ABC中，a＝1，B＝45，S△ABC＝2，則此三角形的外接圓的半徑R＝(　　) A. B．1 C．2 D． 【解析】　S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4. b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8＝25， ∴b＝5.∴R＝＝＝. 【答案】　D 4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于(　　) A. B. C. D． 【解析】　 在△ABC中，由余弦定理可知： AC2＝AB2＋BC2－2ABB

3、Ccos B， 即7＝AB2＋4－22AB. 整理得AB2－2AB－3＝0. 解得AB＝－1(舍去)或AB＝3. 故BC邊上的高AD＝ABsin B＝3sin 60＝. 【答案】　B 5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C為(　　) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 【解析】　由題意知：a＝b＋1，c＝b－1， 所以3b＝20acos A＝20(b＋1) ＝20(b＋1)， 整理得7b2－27b－40＝0， 解之得：

4、b＝5(負(fù)值舍去)，可知a＝6，c＝4. 結(jié)合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4. 【答案】　D 二、填空題 6．在△ABC中，B＝60，AB＝1，BC＝4，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為 ． 【解析】　畫(huà)出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2ABBDcos 60＝3，∴AD＝. 【答案】　 7．有一三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3 cm,5 cm，其夾角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，則此三角形的面積是 cm2. 【解析】　解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－，sin α＝.

5、故S△＝35＝6(cm2)． 【答案】　6 8．(2016鄭州模擬)在△ABC中，B＝120，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為 ． 【解析】　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即49＝a2＋25－25acos 120. 整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)． ∴S△ABC＝acsin B＝35sin 120＝. 【答案】　 三、解答題 9．已知△ABC的三內(nèi)角滿足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求證：a2＋b2＝5c2. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05920063】 【證明】　由已知得cos2Acos2B－sin2A

6、sin2B＝1－5sin2C， ∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C， ∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C， ∴sin2A＋sin2B＝5sin2C. 由正弦定理得，所以2＋2＝52， 即a2＋b2＝5c2. 10．(2014全國(guó)卷Ⅱ)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四邊形ABCD的面積． 【解】　(1)由題設(shè)及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos C＝13－12cos C， ① BD2＝AB2＋DA2－2ABDAcos A＝5＋4cos

7、 C． ② 由①，②得cos C＝，故C＝60，BD＝. (2)四邊形ABCD的面積 S＝ABDAsin A＋BCCDsin C ＝sin 60＝2. [能力提升] 1．已知銳角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面積為，則的值為(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 【解析】　由題意S△ABC＝||||sin A＝， 得sin A＝，又△ABC為銳角三角形， ∴cos A＝，∴＝||||cos A＝2. 【答案】　A 2．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan Btan C＝1－，則角A的值為(　　) A. B. C.

8、 D． 【解析】　由題意知，sin A＝－cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，在等式－cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C兩邊除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以角A＝. 【答案】　A 3．(2015天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cos A＝－，則a的值為 ． 【解析】　在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝， 所以有解得 【答案】　8 4．(20

9、15陜西高考)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積． 【解】　(1)因?yàn)閙∥n，所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，從而tan A＝. 由于00，所以c＝3. 故△ABC的面積為bcsin A＝. 法二　由正弦定理，得＝，從而sin B＝. 又由a>b，知A>B，所以cos B＝. 故sin C＝sin(A＋B)＝sin ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 所以△ABC的面積為absin C＝.