《高考數(shù)學 理二輪復習教師用書：第3部分 考前增分策略 專題1 3.三角函數(shù)與平面向量 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學 理二輪復習教師用書：第3部分 考前增分策略 專題1 3.三角函數(shù)與平面向量 Word版含答案（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
3.三角函數(shù)與平面向量
■要點重溫…………………………………………………………………………·
1．三角函數(shù)的定義：
在平面直角坐標系中，設α的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)，它與原點的距離是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
特別地，當r＝1時，sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝.
[應用1] 已知角α的終邊經過點P(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________．
[答案]?。?
2．弧長公式：l＝|α|R，扇形面積公式：S＝lR＝|α|R2,1弧度(1 rad)＝≈57.3°.
[應
2、用2] 已知扇形的周長為8 cm，圓心角為2 rad，求該扇形的面積．
[解] 設扇形的半徑為r, 弧長為l，則有，解得 .
故扇形的面積為S＝rl＝4 cm2.
3．關于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，( A，ω>0)
①五點法作圖；
[應用3] 函數(shù)f(x)＝sin x＋2|sin x|, x∈(0,2π)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是________．
[答案] (1,3)．(要作出y＝f(x)的圖象，運用數(shù)形結合的思想求解. )
② 周期T＝.一般來說，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半．如y＝sin2x, y＝|cos x|，但y＝|ta
3、n x|的周期是π，y＝|sin x|＋|cos x|的周期是；函數(shù)y＝sin(x2), y＝sin|x|都不是周期函數(shù)．
[應用4] 函數(shù)y＝|sin x|cos x－1的最小正周期與最大值分別為________.
【導學號：07804168】
[解析] y＝ 作出其圖象(圖略)知原函數(shù)的最小正周期為2π，最大值為－.
[答案] 2π；－
③ 單調性和對稱性：
y＝sin x的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)；單調遞減區(qū)間為(k∈Z)；
對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)；對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)．
y＝cos x的單調遞增區(qū)間為[2kπ－π， 2kπ](k∈Z)；單調遞減區(qū)間
4、為[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
對稱軸為x＝kπ(k∈Z)；對稱中心為(kπ＋，0)(k∈Z)．
y＝tan x的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)；對稱中心為(k∈Z)．
[應用5] 函數(shù)f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的單調遞減區(qū)間為________．
[解析] ∵x∈[－π，0]，∴x－∈，令z＝x－，則z∈，
∵正弦函數(shù)y＝sin z在上單調遞增，
∴由－≤x－≤－得：－≤x≤0.
∴函數(shù)f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的單調遞增區(qū)間為.
∴函數(shù)f(x)＝2sin在x∈[－π，0]的單調遞減區(qū)間為.
[答案]
[應用6] 求函數(shù)y＝sin4x＋2sin xco
5、s x－cos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在 [0，π]上的單調遞增區(qū)間．
[解] ∵函數(shù)y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x ＝(sin2x－cos2x)(sin2x＋cos2x)＋sin2x
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
故該函數(shù)的最小正周期是π.
當2x－＝2kπ－時，即x＝kπ－時，y有最小值．
由于函數(shù)y＝2sin，∴ymin＝－2，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
令k＝0時，－ ≤x≤.
又∵0≤x≤π，∴0≤x≤， k＝1時， π≤x≤π
又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π.
6、故該函數(shù)的最小正周期是π；最小值是－2；單調遞增區(qū)間是，.
④ 變換：
y＝sin xy＝siny＝sin
y＝sin xy＝sin(2x)y＝sin
你知道上述兩種變換過程的區(qū)別嗎？
[應用7] 要得到函數(shù)y＝cos x的圖象，只需將函數(shù)y＝sin的圖象上所有的點( )
A．橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度
B．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度
C．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度
D．橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度
[解析] 將函數(shù)y＝sin(
7、2x＋)圖象上所有的點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象；再向左平行移動個單位長度后便得y＝sin(x＋＋)＝cos x的圖象．故選C.
[答案] C
[應用8] 將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能取值為________.
【導學號：07804169】
A． B．
C．0 D．－
[解析] y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin，
由于所得函數(shù)為偶函數(shù)，則
f(0)＝sin＝±1，
φ＋＝kπ＋?φ＝kπ＋，k∈Z，取k＝0得φ＝，故選A.
[答案] A
⑤用
8、待定系數(shù)法求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式．
由圖中的最大值或最小值確定A，再由周期確定ω，由圖象上“特殊點”的坐標來確定φ.
特別提醒：將點的坐標代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點．“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次類推即可．
[應用9] 已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的圖象如圖4所示，則φ＝________.
圖4
[解析] 由圖象可得T＝2＝π＝，解之得ω＝.將代入y＝sin，得sin＝－1，則π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.
又∵φ∈[－π，π)，∴φ＝π.
9、
[答案] π.
4．三角恒等變換的切入點
(1)角的變換：可利用和、差、倍、半角公式；
(2)名的互換：誘導公式、正切化正余弦公式；
(3)次的變換：利用升、降冪公式；
(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式．
值得注意的是：
①在三角恒等變換中，要特別注意角的各種變換．如：β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β， ＝－；
[應用10] 已知sin(－α)＝，則sin(π＋2α)＝________.
[解] －.(提示：設－α＝β)
②注意sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三者間的關系．
[應用11] 已知θ∈，sin θ－cos θ＝，求的
10、值．
[解]?。剑剑剑?
因為θ∈，sin θ－cos θ＝，所以sin θcos θ＝，sin θ＋cos θ＝，所以原式＝.
③在三角函數(shù)的求值問題中，要特別關注角的范圍，通常需要結合已知的三角函數(shù)值進一步縮小角的范圍，以確定所求值的符號，這是此類問題中的難點．
[應用12] 設α為第四象限的角，若＝，則tan2α＝________.
【導學號：07804170】
[解析] ∵＝＝＝cos2α＋2cos2α＝2cos2α＋1＝∴cos2α＝.又∵α為第四象限角，即2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z，
∴4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π，k∈Z，即2α為第三、四象限角．
∴
11、sin2α＝－＝－＝－.
∴tan2α＝＝＝－.
[答案]?。?
④注意二倍角公式的變形，如： sin2α＝，cos2α＝.
輔助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.
[應用13] 已知函數(shù)f(x)＝sincos＋cos2 .
(1) 將f(x)寫成Asin(ωx＋φ)＋k的形式．并求其圖象對稱中心的橫坐標；
(2) 如果△ABC的三邊，a，b，c成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f(x)的值域．
[解] (1)f(x)＝sin＋，
由sin＝0，即x ＋＝kπ(k∈Z)．
得x＝π，k∈Z.
即對稱中心的橫坐標為π
12、，k∈Z.
(2)由已知b2＝ac，cos x＝＝
＝－≥，
又x＝B∈(0，π)，
∴0＜x≤，
∴x＋∈(，]．
∴sin＜sin≤1.
∴<sin＋≤1＋，
即f(x)的值域為.
5．解三角形
(1)正弦定理：2R＝＝＝；
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝；
(3)內切圓半徑：r＝；
面積公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B；
注意：你要會證明正弦定理和余弦定理．
[應用14] 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝，cos Asin B＋(c－sin A)cos(A＋C)＝0.
13、
(1)求角B的大??；
(2)若△ABC的面積為，求sin A＋sin C的值．
[解] (1)由cos Asin B＋(c－sinA)cos(A＋C)＝0，
得cos Asin B－(c－sin A)cos B＝0，
即sin(A＋B)＝ccos B，sin C＝ccos B，＝cos B，
因為＝，所以＝cos B，
即tan B＝，B＝.
(2)由S＝acsin B＝，得ac＝2，
由b＝及余弦定理得()2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，所以a＋c＝3，所以sin A＋sin C＝(a＋c)＝.
(4)解三角形時，可能會出現(xiàn)多解的
14、情況，一定要注意檢驗．比如，在已知兩邊a，b及一邊的對角A的情況下，如果A為銳角，那么可能出現(xiàn)以下情況(如圖5).
圖5
a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b
無解 一解 兩解 一解
[應用15] 在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，則解此三角形的結果有( )
【導學號：07804171】
A．無解 B．一解
C．兩解 D．一解或兩解
[解析] 由正弦定理知sin C＝＝，又由c>b>csin B知，C有兩解．也可依已知條件，畫出△ABC(圖略)，由圖知有兩解．故選C.
[答案
15、] C
6．向量共線基本定理：a∥b?存在實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)?x1y2－x2y1＝0
[應用16] 若a＝(2，－2)，則與a平行的單位向量的坐標為________．
[答案] ，
7．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
特別地，＝λ1＋λ2，則λ1＋λ2＝1是三點P，A，B共線的充要條件．
[應用17] 如圖6，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
圖6
[解析] 由B，H，C三點共線
16、，可令＝x＋(1－x).又M是AH的中點，所以＝＝x＋(1－x).又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
[答案]
8．夾角與數(shù)量積的關系
(1)當θ為銳角時，a·b＞0，且a、b不同向，a·b>0是θ為銳角的必要不充分條件；
(2)當θ為直角時，a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a⊥b，還可能a＝0或b＝0.
(3)當θ為鈍角時，a·b＜0，且a、b不反向，a·b<0是θ為鈍角的必要不充分條件．
[應用18] 已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是_
17、_______．
[解析] 由θ為銳角，得a·b＞0，且a、b不同向．
∴0<≠1，∴，解得
∴λ的取值范圍是{λ|λ>－且λ≠2}．
[答案] {λ|λ>－且λ≠2}
9．解決向量問題有兩條途徑：
數(shù)的角度：①利用平面向量基本定理，用兩個基向量表示所求向量； ②建系，利用坐標運算．
形的角度：利用向量運算的幾何意義．
[應用19] 如圖7在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝2，D為BC邊上一點，＝2，則·＝________.
圖7
[答案]
10．向量中常用的結論：
(1)＝λ＋μ (λ，μ為實數(shù))，
18、若λ＋μ＝1，則三點A、B、C共線；
(2)在△ABC中，若D是BC邊的中點，則＝(＋)；
(3)已知O，N，P在△ABC所在平面內．若||＝||＝||，則O為△ABC的外心；若＋＋＝0，則N為△ABC的重心；若·＝·＝·，則P為△ABC的垂心．
[應用20] 已知O是邊長為1的正三角形ABC的中心，則(＋)·(＋)＝________.
【導學號：07804172】
[解析] 取邊長為1的等邊△ABC的邊AB的中點為D，邊AC的中點為E，
則＋＝2，＋＝2，
而由等邊三角形的性質可得，OA＝2OD，OD⊥AB，
所以∠AOD＝，
同理
19、可得∠AOE＝，
再根據(jù)OD＝OE＝·＝，可得(＋)·(＋)＝2·2＝4·＝4××cos＝－.
[答案] －
■查缺補漏…………………………………………………………………………·
1．點A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [因為sin2 018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin 38°<0，cos 2 018°＝cos(11
20、×180°＋38°)＝－cos 38°<0，所以點A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，選C.]
2．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為( )
A. B．
C. D．
A [(a－b)⊥(3a＋2b)?(a－b)·(3a＋2b)＝0?3a2－2b2－a·b＝0?a·b＝b2.
∴cos〈a，b〉＝＝＝?〈a，b〉＝.選A.
3．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin
21、A＝asin C，則sin B為( )
【導學號：07804173】
A. B．
C. D．
A [因為bsin B－asin A＝asin C，所以b2－a2＝ac，
∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝4a2－ac＝3a2，
∴cos B＝＝＝，
由于0<B<π，解得：sin B＝＝＝，故選A.]
4．將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個單位，所得到的圖象關于y軸對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為( )
A. B．
C．－ D．－
D [f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移個單位得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin2x－＋φ，此函數(shù)圖象關于y軸對
22、稱，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.因為0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值為sin＝－，故選D.]
5．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cos C的最小值為( )
A． B．
C． D．－
C [∵cos C＝＝，又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2.
∴cos C≥.
∴cos C的最小值為.]
6．如圖8，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，點M在AB邊上，且AM＝AB，則·等于( )
圖8
A．－
23、 B．
C．－1 D．1
D [＝＋＝＋，
又＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)
＝2＋2＋·
＝1＋－·
＝－||·||cos 60°
＝－×1×2×＝1.]
7．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖9所示，其中A，B兩點之間的距離為5，則f(x)的單調遞增區(qū)間是( )
【導學號：07804174】
圖9
A．[6k－1,6k＋2](k∈Z) B．[6k－4,6k－1](k∈Z)
C．[3k－1,3k＋2](k∈Z) D．[3k－4,3k－
24、1](k∈Z)
B [∵|AB|＝5，|yA－yB|＝4，∴|xA－xB|＝3，即＝3，∴T＝＝6，∴ω＝.
∵f(x)＝2sin過點(2，－2)，
即2sin＝－2，∴sin＝－1，
又∵0≤φ≤π，∴＋φ＝，解得φ＝，
∴f(x)＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得6k－4≤x≤6k－1(k∈Z)，故f(x)的單調遞增區(qū)間為[6k－4,6k－1](k∈Z)．故選B.]
8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點，c＝4，·＝5，sin C＋sin A－4sin B＝0，則cos A＝( )
A.
25、B．
C. D．
C [由題意O為△ABC的外心，D為BC邊上的中點，
可得：＝(＋)，∵·＝5，可得
·(＋)＝(·)＋(·)＝5，
∴＝，同理＝，∴＋＝5，
即＋＝5；∵c＝4，∴b＝2，
又∵sin C＋sin A－4sin B＝0，∴4b－c＝a，∴a＝4，
由余弦定理可得：cos A＝＝，故選C.
]
9．已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則cos β＝________.
[∵0<α<且cos α＝<cos ＝，∴<α<.
又0<β&l
26、t;，∴<α＋β<π，又sin(α＋β)＝<，∴<α＋β<π.
∴cos(α＋β)＝－＝－，
sin α＝＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.]
10．當0＜x＜時，函數(shù)f(x)＝的最小值為________．
[解析] ∵f(x)＝＝＋4tan x≥4，當且僅當tan x＝時取等號，所以最小值為4.
[答案] 4
11．某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：
x
27、x1
x2
x3
ωx＋φ
0
π
2π
Asin(ωx＋φ)＋B
1
4
1
－2
1
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若<α<π，f＝，求f的值.
【導學號：07804175】
[解] (1)由題意可得，即.
由題意可得，即
∴函數(shù)f(x)的解析式為：f(x)＝3sin＋1
(2)由f＝可得3sin＋1＝，化簡得sin＝，
∵f＝3sin＋1
＝3sin＋1 ＝－3sin＋1
＝－6sin·cos＋1.
又∵α∈，∴α＋∈，
∴cos＝－，
f＝－6sincos＋1＝－6××
28、＋1＝.
12．(20xx·青島模擬)已知向量，a＝，b＝，實數(shù)k為大于零的常數(shù)，函數(shù)f(x)＝a·b，x∈R，且函數(shù)f(x)的最大值為.
(1)求k的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，若<A<π，f(A)＝0，且a＝2，求·的最小值．
[解] (1)由已知f(x)＝a·b＝·
＝ksincos－kcos2＝ksin－k·
＝－
＝－
＝sin－.
因為x∈R，所以f(x)的最大值為＝，
則k＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin－，
所以f(A)＝sin－＝0
化簡得sin＝.
因為<A<π，
所以<－<.
則－＝，解得A＝.
因為cos A＝－＝＝，
所以b2＋c2＋bc＝40，
則b2＋c2＋bc＝40≥2bc＋bc，
所以bc≤＝20(2－)．
則·＝||||cos＝－bc≥20(1－)．
所以·的最小值為20(1－)．
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