萬(wàn)變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一：專題一 集合 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1.集合的含義與表示 一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性：確定性、互異性、無(wú)序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為：{元素|元素的特征}，例如 2.常用數(shù)集及其表示方法 （1）自然數(shù)集N（又稱非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、…… （2）正整數(shù)集N*或N+ ：1、2、3、…… （3）整數(shù)集Z：-2、-1、0、1、…… （4）有理數(shù)集Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等 （5）實(shí)數(shù)集R：全體實(shí)數(shù)的集合 （6）空集 ：不含任何元素的集合 3.元素與集合的關(guān)系：屬于∈，不屬于,例如：a是集合A的元素，就說

2、a屬于A，記作a∈A 4.集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如圖1)，記作或. 若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，記作 （2）真子集的概念 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 記作AB 或BA. （3）集合相等：若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B. 5.重要結(jié)論 （1）傳遞性：若，，則, （2）空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6.含有個(gè)元素的集合,它的

3、子集個(gè)數(shù)共有 個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有–1個(gè)(即不計(jì)空集)；非空的真子集有–2個(gè). 7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集 （1）一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B（讀作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝． （2）一般地，對(duì)于給定的兩個(gè)集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做A,B的并集．記作A∪B（讀作＂A并B＂），即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝． （3）若A是全集U的子集，由U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補(bǔ)集，記作, 二、題之本：思想方法技巧 1.對(duì)于集合問題，一定要抓住集合的代表元素，要

4、注意區(qū)分集合中元素的形式，你注意區(qū)分下面幾個(gè)集合： ①；②；③；④；⑤. 2.集合中的元素具有無(wú)序性和互異性。如集合隱含條件，集合不能直接化成. 3.由于空集是任何非空集合的真子集，在解題中如果思維不夠縝密，遇到或A∩B=Φ就有可能忽視的情況，導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時(shí)，更要注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況。如：，若 ，求實(shí)數(shù)的值.(不要遺忘=0的情況） 4.下面幾個(gè)等價(jià)關(guān)系在解題中經(jīng)常用到： A∩B=AA∪ B=BAB=。 5.方程組解的集合可看作點(diǎn)集.例： 解的集合為{(2，1)}. 6.數(shù)形結(jié)合是解集合問題時(shí)的常用方法

5、，解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決. 7.解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．從反面考慮問題在集合中的運(yùn)用主要就是運(yùn)用補(bǔ)集思想．補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。 三、題之變：課本典例改編 1.原題(必修1第七頁(yè)練習(xí)第三題（3））判斷下列兩個(gè)集合之間的關(guān)系： A= . 改編 已知集合，集合，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D

6、. 【解析】， ，故選D . 2.原題(必修1第十二頁(yè)習(xí)題1.1 A組第10題）已知集合，，求，，， 改編1 已知全集且則等于（ ） A.　　　　B.　　　　 C.　　　　 D. 【答案】C. 改編2 設(shè)集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】，，所以，故選B . 改編3 已知集合集合則等于 （ ） A．　　　　B．　　　　 C．　　　 　D． 【答案】D. 【解析】集合，故選D . 3.原題（必修1第十二頁(yè)習(xí)題1.1B組第一題）已知

7、集合A={1，2}，集合B滿足A∪B={1，2}，則這樣的集 合B有 個(gè). 改編1 已知集合A、B滿足A∪B={1，2}，則滿足條件的集合A、B有多少對(duì)？請(qǐng)一一寫出來． 【答案】有9對(duì)；可以是：?，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，?． 【解析】∵A∪B={1，2}，∴集合A，B可以是：?，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2

8、}，?．則滿足條件的集合A、B有9對(duì). 改編2 已知集合有個(gè)元素，則集合的子集個(gè)數(shù)有 個(gè)，真子集個(gè)數(shù)有 個(gè). 【答案】；. 【解析】子集個(gè)數(shù)有個(gè)，真子集個(gè)數(shù)有個(gè). 改編3 滿足條件的所有集合有 個(gè). 【答案】4. 改編4 滿足的集合有 個(gè)。 【答案】4 【解析】符合條件的集合A有，共4個(gè). 改編5 已知，若非空集合A滿足，對(duì)任意 都有，則這樣的集合有 個(gè)。 【答案】7 【解析】符合條件的集合A有，共7個(gè) 改編6 已知，若集合A中有4個(gè)元素，且對(duì)任意 都有，則這樣的集合有 個(gè)。 【答案】6 【解析】符合條件的集合A有，共6個(gè)

9、。 4.原題（必修1第十三頁(yè)閱讀與思考“集合中元素的個(gè)數(shù)”）改編 用表示非空集合中的元素個(gè)數(shù)，定義,若，且 ,則由實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合= . 【答案】. 【解析】由，而，故．由得． 當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)根，這時(shí)． 當(dāng)時(shí)，必有，這時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程必有兩個(gè)相等的實(shí)根，且異于，有∴，可驗(yàn)證均滿足題意，故． 5.原題（必修1第四十四頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第四題）已知集合A={x|=1}，集合B={x|ax=1}，若BA，求實(shí)數(shù)a的值. 改編 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B，則實(shí)數(shù)a等于 . 【答案】1或-1或0.