精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修五學(xué)業(yè)分層測評：第二章 解三角形 13 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評(十三) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝7，則·的值為(　　) A．－　　　B.　　　C．－　　　D． 【解析】　由余弦定理cos C＝＝＝－， ∴·＝||·||cos C＝3×5× ＝－. 【答案】　C 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asin B·cos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B＝(　　) A. B． C. D． 【解析】　由正弦定理可得sin Asin B

2、cos C＋sin Csin B· cos A＝sin B， 所以sin(A＋C)＝，即sin B＝， 但B不是最大角，所以B＝. 【答案】　A 3．E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan ∠ECF＝(　　) 圖2­2­4 A. B． C. D． 【解析】　設(shè)AC＝1，則AE＝EF＝FB＝AB＝. 由余弦定理得CE＝CF ＝＝， 所以cos∠ECF＝＝， tan∠ECF＝＝＝. 【答案】　D 4．如圖2­2­5，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，則sin

3、C的值為(　　) 圖2­2­5 A. B． C. D． 【解析】　設(shè)AB＝c，則AD＝c，BD＝，BC＝， 在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝. 則sin A＝，在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sin C＝. 【答案】　D 5．(2016·寶雞高二檢測)若△ABC的周長為20，面積為10，A＝60°，則a等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】　S＝bcsin A＝bc·＝10，∴bc＝40， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bc·， ∴a2

4、＝(20－a)2－120， ∴a＝7. 【答案】　C 二、填空題 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比數(shù)列，且c＝2a，則cos B的值為________． 【解析】　因?yàn)閟in A，sin B，sin C成等比數(shù)列， 所以sin2B＝sin A·sin C，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cos B＝＝＝. 【答案】　 7．在△ABC中，AB＝，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AD＝1，∠BAD＝30°，則△ABC的面積為________． 【解析】　∵D為BC的中點(diǎn)，∴S△ABC＝2S△ABD

5、＝2××|AB||AD|·sin∠BAD＝2×××1×sin 30°＝. 【答案】　 8．如圖2­2­6所示，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，則BC＝________. 圖2­2­6 【解析】　cos A＝＝－， ∴A＝120°， ∴C＝60°.從而＝， ∴BC＝＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2­2­7，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，

6、AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的長． 圖2­2­7 【解】　在△BAD中，設(shè)BD＝x. 則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA， 即142＝x2＋102－2×10xcos 60°，解得x＝16，即BD＝16， 又＝， ∴BC＝·sin 30°＝8. 10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2＋ccos2＝b. (1)求證：a，b，c成等差數(shù)列； (2)若B＝60°，b＝4，求△ABC的面積． 【

7、解】　(1)證明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b， 即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b. 由正弦定理得sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B， 即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B， ∴sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理得a＋c＝2b，所以a，b，c成等差數(shù)列． (2)由B＝60°，b＝4，及余弦定理得 42＝a2＋c2－2accos 60°， ∴(a＋c)2－3ac＝16， 又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，

8、 解得ac＝16， ∴△ABC的面積S＝acsin B＝acsin 60°＝4. [能力提升] 1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于(　　) A. B. C. D． 【解析】　設(shè)AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 即7＝c2＋4－2×2×c×cos 60°，c2－2c－3＝0， 即(c－3)(c＋1)＝0，又c>0，∴c＝3. 設(shè)BC邊上的高等于h，由三角形面積公式 S△ABC＝AB·BC&#

9、183;sin B＝BC·h，知 ×3×2×sin 60°＝×2×h， ∴h＝. 【答案】　B 2．如圖2­2­8所示，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于(　　) 圖2­2­8 A. B．5 C．6＋ D． 7 【解析】　連接BD，在△BCD中， BD＝ ＝＝2. ∵∠CBD＝(180°－∠BCD)＝30°， ∴∠ABD＝90°， ∴S四邊形ABCD＝S△A

10、BD＋S△BCD＝AB·BD＋BC·CDsin ∠BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5. 【答案】　B 3．在△ABC中，B＝，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________． 【解析】　在△ABC中，根據(jù)＝＝ 得AB＝·sin C＝·sin C＝2sin C. 同理BC＝2sin A， 因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A＝2sin C＋4sin ＝4sin C＋2cos C＝2sin(C＋φ)， 因此AB＋2BC的最大值為2. 【答案】　2 4．如圖

11、2­2­9所示，是半徑為r的圓的一部分，弦AB的長為r，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，問當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時，△ACD的面積最大，并求出這個最大面積． 【導(dǎo)學(xué)號：67940041】 圖2­2­9 【解】　∵OA＝OB＝r，AB＝r. ∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB＝90°. ∴∠ACB＝＝135°. 設(shè)∠CAD＝θ(0°＜θ＜45°)，則∠ABC＝45°－θ. 在△ABC中，∵＝， ∴AC＝ ＝2rsin(45°－θ)， ∴在△ACD中，CD＝ACsin θ， AD＝ACcos θ， S△ACD＝AC2sin θcos θ ＝2r2sin2(45°－θ)sin θcos θ ＝2r2·sin 2θ ＝r2(1－sin 2θ)sin 2θ ＝r2 ＝－2r2＋r2， ∴當(dāng)sin 2θ＝，即2θ＝， θ＝時，S△ACD取得最大值且最大值為r2.