精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修五學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng):第二章 解三角形 12 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十二) (建議用時(shí):45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.在△ABC中,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么A等于(  ) A.30°  B.60° C.120° D.150° 【解析】 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc得b2+c2-a2=bc,cos A===,所以A=60°. 【答案】 B 2.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a+b)2-c2=4且C=60°,則ab的值為(  ) A. B.8-4 C.1 D. 【解析】 依題意得

2、 兩式相減得ab=. 【答案】 A 3.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,則BC邊上的高等于(  ) A. B. C. D. 【解析】 設(shè)AB=a,則由AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B知 7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(負(fù)值舍去). ∴S△ABC=AB·BCsin B=×3×2×=. ∴BC邊上的高為=. 【答案】 B 4.已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=10,b=15,C=60°,則cos B=(  ) A. B. C.- D.-

3、 【解析】 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=102+152-2×10×15×cos 60°=175, ∴c=5,∴cos B===. 【答案】 A 5.若三角形三邊長(zhǎng)的比為5∶7∶8,則它的最大角和最小角的和是(  ) A.90° B.120° C.135° D.150° 【解析】 ∵三邊長(zhǎng)的比為5∶7∶8, ∴可設(shè)三條邊長(zhǎng)分別為5t,7t,8t. 令7t所對(duì)角為θ,則cos θ==, ∴θ=60°,從而它的最大角和最小角的和是120°. 【答案】 B 二

4、、填空題 6.在△ABC中,若a=2,b=3,C=60°,則sin A=________. 【解析】 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C =4+9-2×2×3×=7,∴c=, 再由正弦定理得sin A===. 【答案】  7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=120°,c=5,a=7,則=________. 【解析】 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A, 即49=b2+25+5b,解得b=3或b=-8(舍去). 所以==. 【答案】  8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c

5、=2b,且最大角為120°,則最大的邊長(zhǎng)為________. 【解析】 ∵a-b=4>0, ∴a>b, 又a+c=2b, ∴a-c=a-(2b-a)=2(a-b)>0, ∴a>c, 故a為最長(zhǎng)邊,A=120°, 故cos A==-, ∴=-, ∴b=10,a=14. 【答案】 14 三、解答題 9.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的兩根,2cos(A+B)=1. (1)求角C的度數(shù); (2)求AB的長(zhǎng); (3)求△ABC的面積. 【解】 (1)cos C=cos[π-(A+B)] =

6、-cos(A+B)=-, 又∵C∈(0,π), ∴C=120°. (2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的兩根, ∴ ∴AB2=b2+a2-2abcos 120°=(a+b)2-ab=10, ∴AB=. (3)S△ABC=absin C=. 10.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,cos B=,且·=-21,若a=7,求角C. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):67940038】 【解】 ∵·=||·||·cos (π-B) =-accos B =-ac=-21, ∴ac=35. 又a=7,∴c=5,∵cos B=,

7、且B∈(0,π), ∴sin B==, ∴b2=49+25-2×7×5×=32, ∴b=4. 由正弦定理,得=, ∴sin C=. 又a>c,∴C∈∴C=. [能力提升] 1.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別是3,5,x,則x的取值范圍是(  ) A.1<x< B.4<x< C.1<x<4 D.4<x< 【解析】 若5最大,則32+x2-52>0,得5>x>4,若x最大,則32+52-x2>0,得5<x<,又2<x<8,則4<x<. 【答案】 D

8、 2.如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度,則新三角形的形狀是(  ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.由增加的長(zhǎng)度確定 【解析】 設(shè)直角三角形三邊為a,b,c,且a2+b2=c2. 則(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0. 設(shè)最大邊(c+x)所對(duì)的角為θ,則cos θ=>0, ∴θ為銳角,故三角形的形狀為銳角三角形. 【答案】 A 3.在△ABC中,若面積S△ABC=a2-(b-c)2,則cos A的值為________. 【解析】 由S△ABC=bcsin A,

9、 知a2-(b-c)2=bcsin A, ∴b2+c2-a2=2bc, ∴=1-sin A,由余弦定理得 cos A==1-sin A, ∴sin A=4(1-cos A), ∴sin2A=16(1-cos A)2, ∴1-cos2A=16-32cos A+16cos2A, 即17cos2A-32cos A+15=0, 解得cos A=或cos A=1. ∵A為三角形的內(nèi)角, ∴cos A≠1,∴cos A=. 【答案】  4.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求角A的大小;

10、 (2)若sin B+sin C=1,試判斷△ABC的形狀. 【解】 (1)由已知,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即a2=b2+c2+bc, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 故cos A=-,又A∈(0,π), ∴A=. (2)由(1)中a2=b2+c2+bc及正弦定理可得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 即2=sin2B+sin2C+sin Bsin C =(sin B+sin C)2-sin Bsin C, 又sin B+sin C=1,得sin Bsin C=, 從而sin B=sin C=. ∵0<B<,0<C<,∴B=C. ∴△ABC是等腰鈍角三角形.

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