精編【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修4學案：1.4.14.2　單位圓與周期性 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學資料 4　正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與 誘導公式 4.1　單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2　單位圓與周期性 1．理解任意角的正弦、余弦的定義及其應(yīng)用．(重點) 2.掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系．(重點) 3.理解周期函數(shù)的定義．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　正、余弦函數(shù) 閱讀教材P13～P15“例1”以上部分，完成下列問題． 任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義 (1)單位圓的定義 在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓． (2)如圖1－4－1所示，設(shè)α是任意角，其頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸

2、重合，終邊與單位圓O交于點P(u，v)，那么： 圖1－4－1 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 定義 點P的縱坐標v定義為角α的正弦函數(shù)，記作v＝sin_α 點P的橫坐標u定義為角α的余弦函數(shù)，記作u＝cos_α 通常表示法 y＝sin x定義域為全體實數(shù)，值域為[－1,1] y＝cos x定義域為全體實數(shù)，值域為[－1,1] 在各象限 的符號 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的自變量都是角．(　　) (2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的角度通常用弧度制，而不用角度制．(　　) (3)角α確定，則角α的正弦、余弦函數(shù)值與點P在終邊上的位置

3、無關(guān)．(　　) (4)若sin α<0，則α為第三或第四象限角．(　　) 【解析】　根據(jù)三角函數(shù)的定義，知(1)正確，(3)正確；盡管在正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義中，角α的值既可以用角度制，又可以用弧度制來表示，若用角度制表示時，如30＋sin 30就無法進行運算，改用弧度制時，＋sin就可以運算了，即自變量的單位與函數(shù)值的單位都用十進制數(shù)統(tǒng)一了，因而(2)正確；若sin α<0，α的終邊也可能落在y軸的負半軸上，因而(4)錯． 【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4) 教材整理2　周期函數(shù) 閱讀教材P16～P17練習以上部分，完成下列問題． 1．終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值

4、的關(guān)系． (1)終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即 sin(x＋k2π)＝sin_x(k∈Z)． (2)終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即 cos(x＋k2π)＝cos_x(k∈Z)． 2．一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在非零實數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期． 3．特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為最小正周期． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)2kπ(k∈Z)是正弦、余弦函數(shù)的周期．

5、(　　) (2)f(x)＝x2滿足f(－3＋6)＝f(－3)，故f(x)＝x2為周期函數(shù)．(　　) (3)對正弦函數(shù)f(x)＝sin x有f＝f，所以是f(x)的周期．(　　) 【解析】　(1)錯誤．k∈Z且k≠0時，2kπ是正弦、余弦函數(shù)的周期． (2)錯誤．因為f(－2＋6)≠f(－2)． (3)錯誤．f≠f(π)不滿足任意性． 【答案】　(1)　(2)　(3) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：____

6、_______________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________

7、_________ [小組合作型] 正弦、余弦函數(shù)的定義 　已知θ的終邊經(jīng)過點P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩點撥】　利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可求sin θ，cos θ. 【自主解答】　當a>0時，r＝＝a，得sin θ＝＝，cos θ＝＝. 當a<0時，r＝＝－a，得sin θ＝＝ －，cos θ＝＝－. 利用三角函數(shù)的定義求值的策略 1．求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上異于原點的點的橫、縱坐標及其到原點的距離． 2．若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理． 3．若已知角，則需確定出角的終邊與

8、單位圓的交點坐標． [再練一題] 1．已知角α的終邊在直線y＝2x上，求角α的正弦值和余弦值. 【導學號：66470006】 【解】　設(shè)直線上任意一點P(a,2a)，a≠0， 則r＝＝|a|. 當a>0時，sin θ＝＝＝， cos θ＝＝＝. 當a<0時，sin θ＝＝－＝－， cos θ＝＝＝－. 三角函數(shù)值的符號判斷 　(1)判斷符號：sin 340cos 265； (2)若sin 2α>0，且cos α<0，試確定α所在的象限． 【精彩點撥】　(1)由角的終邊所在象限分別判斷三角函數(shù)值的符號，進一步確定各式符號． (2)根據(jù)正弦、余弦在各個象

9、限的符號確定2α的象限，進而確定α所在的象限． 【自主解答】　(1)∵340是第四象限角，265是第三象限角， ∴sin 340<0，cos 265<0， ∴sin 340cos 265>0. (2)∵sin 2α>0， ∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴kπ<α

10、為“正弦上為正、余弦右為正”，即當角α的終邊在x軸的上方時sin α>0；當角α的終邊在y軸的右側(cè)時，cos α>0. 2．對于確定角α所在象限的問題，應(yīng)首先界定題目中所有三角函數(shù)的符號，然后根據(jù)各三角函數(shù)的符號來確定角α所在象限，則它們的公共象限即為所求． 3．由kπ<θ0，cos α<0，判斷角α所在象限． 【解】　(1)∵2∈，3∈，4∈，6∈， ∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0， ∴>0. (2)∵sin α>0，∴α的

11、終邊在一、二象限或y軸的正半軸上． ∵cos α<0，∴α的終邊在二、三象限或x軸的負半軸上． 故當sin α>0且cos α<0時，α在第二象限． [探究共研型] 利用正弦、余弦函數(shù)的周期性求值 探究1　30與390的終邊相同，兩角的同一三角函數(shù)值相等嗎？ 【提示】　相等． 探究2　終邊相同的角的同一函數(shù)值都相等嗎？為什么？ 【提示】　都相等．因兩角終邊相同，其始邊與單位圓交于同一點，由三角函數(shù)定義知函數(shù)值相等． 探究3　公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z，cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z，揭示了什么規(guī)律，有什么作用？ 【提示】　(1)由公式可知

12、，三角函數(shù)的值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角α的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次． (2)利用此公式，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0到360)角的三角函數(shù)值． 　求下列各角的三角函數(shù)值． (1)sin；(2)cos 1 500； (3)sin π；(4)cos π. 【精彩點撥】　當角α不在0～2π之間時，常利用“終邊相同的角的三角函數(shù)值相等”，把該角轉(zhuǎn)化到0～2π之間，再求值． 【自主解答】　(1)sin＝sin＝ sin ＝. (2)cos 1 500＝cos(4360＋60)＝cos 60＝. (3)sin π＝sin＝sin ＝. (4

13、)cos π＝cos＝cos ＝. 1．利用終邊相同的正弦、余弦值之間的關(guān)系可把任意角的三角函數(shù)化歸為[0,2π)內(nèi)的三角函數(shù)，實現(xiàn)“負化正，大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸(轉(zhuǎn)化)思想． 2．一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準確求值． 3. 正弦 1 余弦 0 － － － [再練一題] 3．求下列三角函數(shù)值． (1)cos(－1 050)； (2)sin； (3)log2(4 sin 1 110)． 【解】　(1)∵－1 050＝－3360＋30， ∴－1 050的角與30的角終邊

14、相同． ∴cos(－1 050)＝cos 30＝. (2)∵－＝－42π＋， ∴角－與角的終邊相同． ∴sin＝sin＝. (3)∵sin 1 110＝sin(3360＋30)＝sin 30＝， ∴l(xiāng)og2(4sin 1 110)＝log2＝log22＝1. [構(gòu)建體系] 1．已知P(3,4)是終邊α上一點，則sin α等于(　　) A.　 B．　 C．　 D． 【解析】　∵r＝＝5，∴sin α＝. 【答案】　C 2．cos的值為(　　) A．－　 B．－　 C．　 D． 【解析】　cos＝cos＝cos＝. 【答案】　D 3．已知函數(shù)y＝f(x)

15、是周期函數(shù)，周期T＝6，f(2)＝1，則f(14)＝________. 【導學號：66470007】 【解析】　f(14)＝f(26＋2)＝f(2)＝1. 【答案】　1 4．使得lg(cos αtan α)有意義的角α是第________象限角． 【解析】　要使原式有意義，必須cos αtan α>0，即需cos αtan α同號，所以α是第一或第二象限角． 【答案】　一或二 5．求下列各式的值． (1)sin 1 470；(2)cos . 【解】　(1)sin 1 470＝sin(4360＋30)＝sin 30＝. (2)cos ＝cos＝cos ＝. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________