精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案：2.7　向量應(yīng)用舉例 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 §7　向量應(yīng)用舉例 7．1　點(diǎn)到直線的距離公式 7．2　向量的應(yīng)用舉例 1．了解直線法向量的概念，掌握點(diǎn)到直線的距離．(重點(diǎn)) 2．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題及一些實際問題．(難點(diǎn)) 3．進(jìn)一步體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具． [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　向量應(yīng)用舉例 閱讀教材P101～P103，完成下列問題． 1．點(diǎn)到直線的距離公式 若M(x0，y0)是平面上一定點(diǎn)，它到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離為：d＝. 2．直線的法向量 (1)定義：稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線

2、的法向量． (2)公式：設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，則直線l的法向量n＝(A，B)． 3．向量的應(yīng)用 向量的應(yīng)用主要有兩方面：一是在幾何中的應(yīng)用；二是在物理中的應(yīng)用． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)△ABC是直角三角形，則·＝0.(　　) (2)若∥，則直線AB與CD平行．(　　) (3)向量，的夾角與直線AB，CD的夾角不相等．(　　) (4)直線Ax＋By＋C＝0的一個法向量是(A，B)．(　　) 【解析】　△ABC是直角三角形，若∠A＝90°，則·≠0，∴(1)×；兩向

3、量平行，對應(yīng)的兩直線可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正確． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：__________________________________________________

4、_______ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 向量在平面幾何中的應(yīng)用 已知D是△ABC中AC邊上一點(diǎn)，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求證：AB是△BCD外接圓的切線．

5、圖2－7－1 【自主解答】　設(shè)△BCD外接圓的圓心為O， 半徑為R，連接OB，OC，OD，?。絙， ＝c，＝d， 則|b|＝|c|＝|d|， 又由題意，知和分別為120°和90°的?。? ∴b·d＝0，b·c＝|b||c|cos 120°＝－R2. 又∵＝＋＝c＋3＝c＋3(d－c)＝3d－2c， ＝－＝b－3d＋2c. ∴·＝(b－3d＋2c)·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0， 即⊥，∴AB是⊙O的切線． 1．解決此類問題，通常利用平面向量基本定理，將一些相關(guān)向量用選定的基底來表示，再

6、利用運(yùn)算法則，運(yùn)算律以及一些重要性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，最后把結(jié)果還原為幾何關(guān)系． 2．本題是將切線問題轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直關(guān)系． [再練一題] 1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n，若D為斜邊AB的中點(diǎn)， (1)求證：CD＝AB； (2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)． 【解】　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)． (1)證明：∵D為AB的中點(diǎn)， ∴D， ∴||＝，||＝， ∴||＝||，即CD＝AB. (2)

7、∵E為CD的中點(diǎn)， ∴E，設(shè)F(x,0)，則 ＝，＝(x，－m)． ∵A，E，F(xiàn)共線，∴＝λ， 解得(x，－m)＝λ， ∴ 即x＝，即F，＝， ∴||＝， 即AF＝. 向量在物理中的應(yīng)用 　某人在靜水中游泳，速度為4km/h. (1)如果他徑直游向河對岸，水的流速為4 km/h，他實際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少？ (2)他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(求出其與河岸夾角的余弦值即可)？他實際前進(jìn)的速度大小為多少？ 【精彩點(diǎn)撥】　解本題首先要根據(jù)題意作圖，再把物理問題轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運(yùn)算求解． 【自主解答】　(1)如圖①，設(shè)人游泳的速度為，水流的速

8、度為，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則此人的實際速度為＋＝，根據(jù)勾股定理，||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人實際沿與水速夾角60°的方向前進(jìn)，速度大小為8 km/h. (2)如圖②，設(shè)此人的實際速度為，水流速度為. ∵實際速度＝游速＋水速，故游速為－＝， 在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4. ∴cos∠BAO＝， 故此人的前進(jìn)方向與河岸夾角的余弦值為，且逆著水流方向，實際前進(jìn)速度的大小為4km/h. 1．用向量解決物理問題首先要建立數(shù)學(xué)模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次要注意物理中的矢量與數(shù)學(xué)中向量的區(qū)別與聯(lián)系

9、． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，實質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算，求解時常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則． 3．在數(shù)學(xué)中，向量數(shù)量積的運(yùn)算是由物理中力對物體所做的功抽象出來的，這也是向量在物理中的主要應(yīng)用之一． [再練一題] 2．一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1 000 km到達(dá)B地，因大霧無法降落，故轉(zhuǎn)向C地飛行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C兩地相距2 000 km，求飛機(jī)從B地到C地的位移． 圖2－7－2 【解】　法一：由題意得||＝1 000，||＝2 000，∠BAC＝60°， ∴||2＝|－|2＝|

10、|2＋||2－2||·||·cos 60° ＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×＝3×106， ∴||＝1 000(km)，∠ABC＝90°. 取AC的中點(diǎn)D，由||＝2||且∠BAD＝60°， 知為正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°. 所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1 000km，方向為南偏西30°. 法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，并取a＝500，則＝(2acos 150°，2asin 150°)＝(

11、－a，a)， ＝(4acos 210°，4asin 210°) ＝(－2a，－2a)， ∴＝(－a，－3a)，||＝2a， 即||＝1 000(km)． 又cos C＝＝＝，∠C＝30°. 結(jié)合圖形可知的方向為南偏西30°，所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1 000km，方向為南偏西30°. [探究共研型] 向量在解析幾何中的應(yīng)用 探究1　教材中在證明點(diǎn)到直線的距離公式時，為什么有d＝|·n0|? 【提示】　如圖所示，過M作MN⊥l于N，則d＝||.在Rt△MPN中，||是在方向上的射影的絕對值，則|＝|

12、||cos∠PMN|＝|||×1×cos∠PMN|＝||×|n0|×|cos∠PMN|＝|·n0|， ∴d＝|·n0|. 探究2　你認(rèn)為利用向量方法解決幾何問題的關(guān)鍵是什么？ 【提示】　關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的運(yùn)算． 探究3　用向量法解決幾何問題常用到哪些知識？ 【提示】　相等向量、共線向量、垂直向量的坐標(biāo)形式經(jīng)常用到． 　已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及點(diǎn)A(1,1)，M是⊙C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長線上，且＝2，求點(diǎn)N的軌跡方程． 【精彩點(diǎn)撥】　要求點(diǎn)N的軌跡方程，需

13、設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用已知條件，轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再利用代入法求解． 【自主解答】　設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)， 由＝2，得 (1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)， ∴ 即代入⊙C方程，得 (3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4， 即x2＋y2＝1. ∴點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2＝1. 向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點(diǎn)之一．解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標(biāo)表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)． [再練

14、一題] 3．已知過點(diǎn)A(0,2)，且方向向量為a＝(1，k)的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·＝12，求k及直線l的方程． 【解】　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由題意知，l的方程為y＝kx＋2，由得(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得， x1＋x2＝，x1x2＝. ∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12， y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2， ∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0， 即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0

15、， ∴(1＋k2)×＋2k×－8＝0，解得k＝， ∴直線l的方程為y＝x＋2，即x－2y＋4＝0. [構(gòu)建·體系] 1．一物體受到相互垂直的兩個力F1，F(xiàn)2的作用，兩力大小都為5N，則兩個力的合力的大小為(　　) A．5N　　　　　 B．5N C．5N D．5N 【解析】　根據(jù)向量的平行四邊形法則，合力F的大小為×5＝5(N)． 【答案】　D 2．在四邊形ABCD中，·＝0，且＝，則四邊形ABCD是(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【解析】　由·＝0，得⊥，又＝，所以與平行且相等

16、，從而四邊形ABCD是矩形． 【答案】　C 3．過點(diǎn)P(1，－1)且垂直于向量n＝(2，－1)的直線方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：66470059】 【解析】　所求直線的方向向量為m＝(1,2)， ∴所求直線的斜率為k＝2， ∴所求直線方程為y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0. 【答案】　2x－y－3＝0 4．已知點(diǎn)A(1,1)，M(x，y)，且A與M不重合，若向量與向量a＝(1,2)垂直，則點(diǎn)M的軌跡方程為________． 【解析】　由題意得＝(x－1，y－1)． 因為⊥a，所以·a＝0， 所以(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋

17、2(y－1)＝0， 即x＋2y－3＝0(x≠1)． 【答案】　x＋2y－3＝0(x≠1) 5．已知△ABC為直角三角形，設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b.若C＝90°，試證：c2＝a2＋b2. 【證明】　以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系． 則A(b,0)，B(0，a)． ∴＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)， ∴||＝＝c. 故c2＝a2＋b2. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________