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精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案:2.3.1 數(shù)乘向量 Word版含解析

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精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案:2.3.1 數(shù)乘向量 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料 §3 從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量 3.1 數(shù)乘向量 1.理解向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.(重點(diǎn)) 2.理解向量共線定理,并應(yīng)用其解決相關(guān)問題.(難點(diǎn)) 3.會(huì)利用向量共線定理判斷三點(diǎn)共線及線線平行.(易混點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理 數(shù)乘向量 閱讀教材P82~P84“例3”以上部分,完成下列問題. 1.?dāng)?shù)乘向量及運(yùn)算律 (1)向量數(shù)乘的定義 一般地,實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作λa.它的長度和方向規(guī)定如下: ①|(zhì)λa|=|λ||a|; ②當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0. (2)向量數(shù)乘的運(yùn)算律 設(shè)a,b為向量,λ,μ為實(shí)數(shù),則向量數(shù)乘滿足: ①結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a; ②分配律:(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb. 2.共線向量定理 (1)判定定理 a是一個(gè)非零向量,若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,則向量b與非零向量a共線. (2)性質(zhì)定理 若向量b與非零向量a共線,則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa. 判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量.(  ) (2)實(shí)數(shù)λ與向量a的和λ+a與差λ-a都是向量.(  ) (3)對(duì)于非零向量a,向量-6a與向量2a方向相反.(  ) (4)向量-8a的模是向量4a的模的2倍.(  ) (5)若b=λa(a≠0),則a與b方向相同或相反.(  ) (6)若a∥b,則存在λ∈R,使得b=λa.(  ) 【解析】 由數(shù)乘向量的意義知,(1)正確,(2)錯(cuò)誤,(3)正確,(4)正確;(5)當(dāng)b=0時(shí),不能判斷方向相同或相反,因而(5)錯(cuò)誤;(6)當(dāng)a=0,b≠0時(shí),就不存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa,故(6)錯(cuò)誤. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后,請(qǐng)將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流: 疑問1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑問2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑問3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ [小組合作型] 向量的線性運(yùn)算  計(jì)算: (1)3(6a+b)-9; (2)-2; (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 【精彩點(diǎn)撥】 根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算. 【自主解答】 (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=-a-b =a+b-a-b=0. (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a =b-c. 1.向量數(shù)乘的運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”,這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看成向量的系數(shù). 2.向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)做未知量,利用解代數(shù)方程的方法求解. [再練一題] 1.化簡: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a); (2)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b). 【解】 (1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=15a-10b+8b-12a=3a-2b. (2)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b=a+b. 向量共線定理及應(yīng)用  已知e1,e2是不共線的向量,a=3e1+4e2,b=6e1-8e0,判斷a與b是否共線? 【精彩點(diǎn)撥】 利用向量共線定理進(jìn)行判斷. 【自主解答】 若a與b共線,則存在λ∈R.使a=λb,即3e1+4e2=λ(6e1-8e2), 所以(3-6λ)e1+(4+8λ)e2=0. 因?yàn)閑1與e2不共線,所以所以λ不存在. 所以a與b不共線. 1.本題充分利用了向量共線定理,即b與a(a≠0)共線?b=λa,因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值. 2.向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示,進(jìn)而互相表示,從而判斷共線. [再練一題] 2.設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2. (1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線. (2)若=3e1-ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線,求k的值. 【解】 (1)證明:由已知得 =- =(2e1-e2)-(e1+3e2) =e1-4e2. ∵=2e1-8e2, ∴=2,又與有公共點(diǎn)B. ∴A,B,D三點(diǎn)共線. (2)由(1)可知=e1-4e2,由=3e1-ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線, 得=λ,即3e1-ke2=λe1-4λe2, 得解得k=12. [探究共研型] 向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用 探究1 若存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,則A,B,C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何? 【提示】 A,B,C三點(diǎn)共線. 探究2 根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義由+=λ(+)可以得到什么結(jié)論? 【提示】?。c+共線. 探究3 向量共線定理有哪兩個(gè)方面的應(yīng)用? 【提示】 (1)判斷兩個(gè)向量共線,若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa(a≠0),則a與b共線.(2)表示兩個(gè)共線向量之間的關(guān)系.若a與b共線(a≠0)則必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ.使b=λa.  已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),過△OAB的重心的直線交OA于點(diǎn)P,交OB于點(diǎn)Q,=a,=b,=m a,=n b,求證:+=3. 【精彩點(diǎn)撥】 解答本題可先利用三角形重心性質(zhì),共線向量基本定理把用表示出來,再用向量求和法則,將其用a,b表示出來,然后表示出,,最后利用Q,G,P三點(diǎn)共線,即可得證. 【自主解答】 如圖,設(shè)G是△ABC的重心,連接OG并延長,交AB于點(diǎn)F,則 ==×(a+b)=(a+b), =-=(a+b)-n b=a+b, =-=m a-(a+b)=a-b. ∵Q,G,P三點(diǎn)共線, 則存在實(shí)數(shù)k使=k, ∴a+b=ka-kb, ∴ 化簡得m+n=3mn, ∴+=3. 1.由已知向量表示未知向量時(shí),要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律,還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用. 2.當(dāng)用已知向量表示未知向量比較困難時(shí),應(yīng)考慮方程思想,利用方程的觀點(diǎn)進(jìn)行求解. [再練一題] 3.已知△ABC中,AB=5,AC=5,BC=6,內(nèi)角平分線的交點(diǎn)為O,若=λ+μ,求實(shí)數(shù)λ與μ的和. 【解】 如圖,AB=AC=5,由已知可得,D為BC的中點(diǎn),由角的平分線性質(zhì)定理知,==, 即=. 于是,==(+) ==+, 即λ=,μ=. 故λ+μ=+=. [構(gòu)建·體系] 1.設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論正確的是(  ) A.a(chǎn)與-λa的方向相反  B.|-λa|≥|a| C.a(chǎn)與λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a 【解析】 a與λ2a的方向相同. 【答案】 C 2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):66470045】 A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 【解析】?。絘+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3(a+2b)==3. 所以A,B,D三點(diǎn)共線. 【答案】 A 3.若|a|=5,b與a的方向相反,且|b|=7,則a=________b. 【解析】 因?yàn)閨a|=5,|b|=7,所以=. 又因?yàn)閎與a的方向相反,所以a=-b. 【答案】?。? 4.在四邊形ABCD中,=2,則四邊形ABCD為________(填“梯形、矩形、菱形、平行四邊形”之一). 【解析】 因?yàn)椋?,所以四邊形ABCD中有AB∥DC,AB=2CD,所以四邊形ABCD是梯形. 【答案】 梯形 5.如圖2-3-1所示,已知在梯形ABCD中,AB∥CD且AB=3CD.若=a,=b,試用a,b表示向量. 圖2-3-1 【解】 因?yàn)锳B∥CD,且AB=3CD, 所以=3,==a, 所以=+=b+a. 我還有這些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________

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