精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第一章 3 第二課時(shí) 組合的應(yīng)用 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第二課時(shí)　組合的應(yīng)用 有限制條件的組合問題 [例1]　2011年7月23日，甬溫線發(fā)生特大鐵路交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問： (1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ [思路點(diǎn)撥]　選取醫(yī)療專家不需要考慮順序，因此是組合問題，解答本題應(yīng)首先分清“恰有”“至少”“至多”的含義，正確的分類或分步． [精解詳析]　(1)分兩步：首先從4名外科專家中任

2、選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC＝90種抽調(diào)方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家，共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 CC＋CC＋CC＝185種抽調(diào)方法． 法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，若選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有 C－CC－C＝185種抽調(diào)方法． (3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三

3、種情況，分類解答． ①?zèng)]有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115種抽調(diào)方法． [一點(diǎn)通]　(1)解決有約束條件的組合問題與解決有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優(yōu)先”的原則，在此前提下，采用分類或分步法或用間接法． (2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的確切含義，正確分類，合理分步． (3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)直接法中分類較復(fù)雜時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略． 1．某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名選手

4、參加比賽，種子選手都必須在內(nèi)，那么不同的選手共有(　　) A．26　　　　　　　　 B．84 C．35 D．21 解析：從7名隊(duì)員中選出3人有C＝＝35種選法． 答案：C 2．從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有(　　) A．70種 B．80種 C．100種 D．140種 解析：可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名．∴共有CC＋CC＝70種． 答案：A 3．某醫(yī)科大學(xué)的學(xué)生中，有男生12名女生8名在某市人民醫(yī)院實(shí)習(xí)，現(xiàn)從中選派5名參加青年志愿者醫(yī)療隊(duì)． (1)某男生甲與某女生乙必

5、須參加，共有多少種不同的選法？ (2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？ (3)甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？ 解：(1)只需從其他18人中選3人即可，共有選法C＝816種． (2)只需從其他18人中選5 人即可，共有選法C＝8 568種． (3)分兩類：甲、乙中只有一人參加，則有CC種選法；甲、乙兩人都參加，則有C種選法． 故共有選法CC＋C＝6 936種. 幾何中的組合問題 [例2]　平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無3點(diǎn)共線． (1)經(jīng)過這9個(gè)點(diǎn)，可確定多少條直線？ (2)以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)三角形？ (3)以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定

6、多少個(gè)四邊形？ [思路點(diǎn)撥]　解答本題可用直接法或間接法進(jìn)行． [精解詳析]　法一(直接法)： 共線的4點(diǎn)記為A，B，C，D. (1)第一類：A，B，C，D確定1條直線； 第二類：A，B，C，D以外的5個(gè)點(diǎn)可確定C條直線； (2分) 第三類：從A，B，C，D中任取1點(diǎn)，其余5點(diǎn)中任取1點(diǎn)可確定CC條直線． (3分) 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有不同直線 1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31條． (4分) (2)第一類：從A，B，C，D中取2個(gè)點(diǎn)，可得CC個(gè)三角形； 第二類：從A，B，C，D中取1個(gè)點(diǎn)，可得CC個(gè)三角形； 第三類

7、：從其余5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn)，可得C個(gè)三角形．共有CC＋CC＋C＝80個(gè)三角形． (8分) (3)分三類：從其余5個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)點(diǎn)共得C＋CC＋CC＝105個(gè)四邊形． (12分) 法二(間接法)： (1)可確定直線C－C＋1＝31條． (2)可確定三角形C－C＝80個(gè)． (3)可確定四邊形C－C－CC＝105個(gè)． [一點(diǎn)通]　利用組合知識解決與幾何有關(guān)的問題，要注意：①幾何圖形的隱含條件：如三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線；四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線等．②根據(jù)實(shí)際情況選擇直接法或間接法．③確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，合理分類． 4．從正方體ABC

8、DA′B′C′D′的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)，作為四面體的頂點(diǎn)，可得到的不同四面體的個(gè)數(shù)為(　　) A．C－12 B．C－8 C．C－6 D．C－4 解析：從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)有C種方法，其中6個(gè)面和6個(gè)對角面上的四個(gè)頂點(diǎn)不能作為四面體的頂點(diǎn)，故有(C－12)個(gè)不同的四面體． 答案：A 5．正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有________個(gè)． 解析：C－3＝32. 答案：32 6．平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成__________個(gè)平行四邊形． 解析：第一步，從m條中任選2條有C種選法； 第二步，從n條

9、中任選2條有C種選法． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有CC. 答案：CC 解有限制條件的組合應(yīng)用題的基本方法是“直接法”和“間接法”(排除法)． (1)用直接法求解時(shí)，則應(yīng)堅(jiān)持“特殊元素優(yōu)先選取”“特殊位置優(yōu)先安排”的原則． (2)選擇間接法的原則是“正難則反”，也就是若正面問題分的類較多、較復(fù)雜或計(jì)算量較大，特別是涉及“至多”“至少”等組合問題時(shí)更是如此．不妨從反面問題入手，試試看是否簡捷些．此時(shí)，正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語的確切含義是解決這些組合問題的關(guān)鍵． 1．9件產(chǎn)品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現(xiàn)在要從中抽出4件產(chǎn)品，

10、抽出產(chǎn)品中至少有2件一等品的抽法種數(shù)為(　　) A．81　　　　　　　　　 B．60 C．6 D．11 解析：分三類： 恰有2件一等品，有CC＝60種取法； 恰有3件一等品，有CC＝20種取法； 恰有4件一等品，有C＝1種取法． ∴抽法種數(shù)為60＋20＋1＝81. 答案：A 2．以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有(　　) A．6個(gè) B．12個(gè) C．18個(gè) D．30個(gè) 解析：從6個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)有C＝15種取法，其中四點(diǎn)共面的有3種．所以滿足題意的四面體有15－3＝12個(gè)． 答案：B 3．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而

11、丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(　　) A．85 B．56 C．49 D．28 解析：由條件可分為兩類：一類是甲、乙兩人只有一人入選，有CC＝42種不同選法，另一類是甲、乙都入選，有CC＝7種不同選法，所以共有42＋7＝49種不同選法． 答案：C 4．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．12 D．15 解析：與信息0110至多有兩個(gè)位置上的數(shù)字對應(yīng)相同的信息包括三類： 第一類：與信息0110只

12、有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C＝6個(gè)； 第二類：與信息0110只有一個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C＝4個(gè)； 第三類：與信息0110沒有一個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C＝1個(gè)． ∴與信息0110至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11個(gè)． 答案：B 5．(大綱全國卷)從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)，2名二等獎(jiǎng)，3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有________種．(用數(shù)字作答) 解析：第一步?jīng)Q出一等獎(jiǎng)1名有C種情況，第二步?jīng)Q出二等獎(jiǎng)2名有C種情況，第三步?jīng)Q出三等獎(jiǎng)3名有C種情況，故可能的決賽結(jié)果共有CCC＝60種情況． 答案：60 6．某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A

13、，B，C三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門．學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修4門，共有________種不同選修方案．(用數(shù)字作答) 解析：分兩類完成： 第一類，A，B，C三門課程都不選，有C種不同的選修方案； 第二類，A，B，C三門課程恰好選修一門，有CC種不同選修方案． 故共有C＋CC＝75種不同的選修方案． 答案：75 7．12件產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品，從這12件產(chǎn)品中任意抽出3件． (1)共有多少種不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？ (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？ 解：(1)有C＝220種抽法． (2)分兩步：先從2件次品

14、中抽出1件有C種方法；再從10件正品中抽出2件有C種方法， 所以共有CC＝90種抽法． (3)法一(直接法)：分兩類：即包括恰有1件次品和恰有2件次品兩種情況，與(2)小題類似共有CC＋CC＝100種抽法． 法二(間接法)：從12件產(chǎn)品中任意抽出3件有C種方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C種方法，所以共有C－C＝100種抽法． 8．10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果： (1)4只鞋子沒有成雙的； (2)4只鞋子恰成兩雙； (3)4只鞋中有2只成雙，另2只不成雙． 解：(1)從10雙鞋子中選取4雙，有C種不同選法，每雙鞋子中各取一只，分別有2種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，選取種數(shù)為N＝C24＝3 360(種)． 即4只鞋子沒有成雙有3 360種不同取法． (2)從10雙鞋子中選取2雙有C種取法， 所以選取種數(shù)為N＝C＝45(種)， 即4只鞋子恰成雙有45種不同取法． (3)先選取一雙有C種選法，再從9雙鞋中選取2雙有C種選法，每雙鞋只取一只各有2種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法為N＝CC22＝1 440(種)．