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1、精編北師大版數(shù)學資料
【成才之路】2015-2016學年高中數(shù)學 第一章 推理與證明綜合測試 北師大版選修2-2
時間120分鐘,滿分150分.
一、選擇題(本大題共10個小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”可類比猜想:“正四面體的內(nèi)切球切于四個面________.”( )
A.各正三角形內(nèi)一點
B.各正三角形的某高線上的點
C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某點
[答案] C
[解析] 正三角形的邊對應正四面體的面,即正三角形表示的側(cè)面,所以邊的中點對應的就是正三角形的中心.故選
2、C.
2.不等式a>b與>同時成立的充要條件為( )
A.a(chǎn)>b>0 B.a(chǎn)>0>b
C.<<0 D.>>0
[答案] B
[解析] ???a>0>b,故選B.
3.否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中,正確的是( )
A.有一個解 B.有兩個解
C.至少有三個解 D.至少有兩個解
[答案] C
[解析] 至少有兩個解包含:有兩解,有一解,無解三種情況.
4.已知f(n)=+++…+,則( )
A.f(n)中共有n項,當n=2時,f(2)=+
B.f(n)中共有n+1項,當n=2時,f(2)=++
C.f(n)中共有n2-n項,當n=2時,f(2
3、)=+
D.f(n)中共有n2-n+1項,當n=2時,f(2)=++
[答案] D
[解析] ∵f(n)=+++…+
∴f(n)中共有n2-n+1項.
f(2)=++=++
5.數(shù)列{an}中前四項分別為2,,,,則an與an+1之間的關(guān)系為( )
A.a(chǎn)n+1=an+6 B.=+3
C.a(chǎn)n+1= D.a(chǎn)n+1=
[答案] B
[解析] 觀察前四項知它們分子相同,分母相差6,
∴{}為等差數(shù)列.
6.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第6
4、0個數(shù)對是( )
A.(7,5) B.(5,7)
C.(2,10) D.(10,1)
[答案] B
[解析] 依題意,由和相同的整數(shù)對分為一組不難得知,第n組整數(shù)對的和為n+1,且有n個整數(shù)對.
這樣前n組一共有個整數(shù)對.
注意到<60<.
因此第60個整數(shù)對處于第11組的第5個位置,為(5,7).故選B.
7.設a、b、c都是正數(shù),則a+,b+,c+三個數(shù)( )
A.都大于2
B.至少有一個大于2
C.至少有一個不大于2
D.至少有一個不小于2
[答案] D
[解析] a++b++c+
=(a+)+(b+)+(c+)
∵a、b、c都是正數(shù),
5、∴a+≥2,b+≥2,c+≥2,當且僅當a=1,b=1,c=1時取等號
∴a++b++c+≥6
∴a+,b+,c+至少有一個不小于2.
8.把1,3,6,10,15,21,…,這些數(shù)叫作三角形數(shù),如圖所示,則第七個三角形數(shù)是( )
A.27 B.28
C.29 D.30
[答案] B
[解析] 第一個三角形數(shù)是1,
第二個三角形數(shù)是1+2=3,
第三個三角形數(shù)是1+2+3=6,
第四個三角形數(shù)是1+2+3+4=10,
因此,由歸納推理得第n個三角形數(shù)是1+2+3+4+…+n=.
由此可以得出第七個三角形數(shù)是28.
9.(2014·長安
6、一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學一模)設△ABC的三邊長分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=;類比這個結(jié)論可知:四面體P-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為r,四面體P-ABC的體積為V,則r=( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 將△ABC的三條邊長a、b、c類比到四面體P-ABC的四個面面積S1、S2、S3、S4,將三角形面積公式中系數(shù),類比到三棱錐體積公式中系數(shù),從而可知選C.
證明如下:以四面體各面為底,內(nèi)切球心O為頂點的各三棱錐體積的和為V,∴V=S1r+S2r+S3r+S4r,∴r=
7、.
10.(2015·陜西文,10)設f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),則下列關(guān)系式中正確的是( )
A.q=r<p B.q=r>p
C.p=r<q D.p=r>q
[答案] C
[解析] p=f()=ln =ln (ab);q=f()=ln ;r=(f(a)+f(b))=ln (ab),因為>,
由f(x)=ln x是個遞增函數(shù),f()>f(),
所以q>p=r,故答案選C.
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
11.(2014·廈門六中高二期中)在平面上,我們用一直線去截正方形的一
8、個角,那么截下的一個直角三角形,按如圖所標邊長,由勾股定理有c2=a2+b2.設想正方形換成正方體,把截線換成如圖截面,這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三個側(cè)面面積,S表示截面面積,那么類比得到的結(jié)論是________.
[答案] S2=S+S+S
[解析] 類比如下:
正方形?正方體;截下直角三角形?截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐;直角三角形斜邊平方?三棱錐底面面積的平方;直角三角形兩直角邊平方和?三棱錐三個側(cè)面面積的平方和,結(jié)論S2=S+S+S.
證明如下:如圖,作OE⊥平面LMN,垂足為E,連接LE并延長交MN于F,
∵LO⊥
9、OM,LO⊥ON,∴LO⊥平面MON,
∵MN?平面MON,∴LO⊥MN,
∵OE⊥MN,∴MN⊥平面OFL,∴S△OMN=MN·OF,S△MNE=MN·FE,S△MNL=MN·LF,OF2=FE·FL,∴S=(MN·OF)2=(MN·FE)·(MN·FL)=S△MNE·S△MNL,同理S=S△MLE·S△MNL,S=S△NLE·S△MNL,∴S+S+S=(S△MNE+S△MLE+S△NLE)·S△MNL=S,即S+S+S=S2.
12.f(n)=1+++…+(n∈N*
10、),經(jīng)計算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>.推測:當n≥2時,有____________.
[答案] f(2n)>
[解析] 由前幾項的規(guī)律可得答案.
13.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖像恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則+的最小值為________.
[答案] 8
[解析] y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖像恒過定點A(-2,-1).
又∵點A在直線mx+ny+1=0上,
∴2m+n=1.
又∵mn>0,∴m>0,n>0.
∴2m+n=
11、1≥2,當且僅當2m=n=,
即m=,n=時取等號,
∴mn≤.∴+==≥8.
14.若數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,…,則a10=________.
[答案] 1 000
[解析] 前10項共使用了1+2+3+4+…+10=55個奇數(shù),a10為由第46個到第55個奇數(shù)的和,即a10=(2×46-1)+(2×47-1)+…+(2×55-1)==1 000.
15.(2014·陜西文,14)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,
12、則f2014(x)的表達式為________.
[答案]
[解析] f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))==,f3(x)=f(f2(x))==,…,f2014(x)=.應尋求規(guī)律,找出解析式.
三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分)
16.已知a>0,b>0,求證:+≥+.
[證明] 證法一:(綜合法)
∵a>0,b>0,
∴+≥2,當且僅當a=b時取等號,同理:+≥2,當且僅當a=b時取等號.
∴+++≥2+2,
即+≥+.
證法二:(分析法)
要證+≥+,
只需證:a+b≥a+b
13、,
只需證:a+b-a-b≥0,
而a(-)-b(-)=(+)(-)2≥0,
當且僅當a=b時取等號,
所以+≥+.
證法三:(反證法)
假設當a>0,b>0時,+<+.
由+<+,得+--<0,
即
=
=<0,
當a>0,b>0時,顯然不成立,∴假設不成立.
故+≥+.
17.在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體ABCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想?并說明理由.
[證明] 如圖(1)所示,由射影定理AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC
14、3;DC,
∴=
==.
又BC2=AB2+AC2,
∴==+.
∴=+.
猜想:類比AB⊥AC,AD⊥BC猜想:
四面體ABCD中,AB、AC、AD兩兩垂直,
AE⊥平面BCD.則=++.
如圖(2),連結(jié)BE交CD于F,連結(jié)AF.
∵AB⊥AC,AB⊥AD,
∴AB⊥平面ACD.
而AF?面ACD,
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中,AE⊥BF,
∴=+.
在Rt△ACD中,AF⊥CD,
∴=+
∴=++,
故猜想正確.
18.已知數(shù)列{an},a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N+).
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達式;
(
15、2)用數(shù)學歸納法證明{an}的通項公式.
[分析] 利用不完全歸納法猜想歸納出an,然后用數(shù)學歸納法證明.解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和假設尋找ak與ak+1和Sk與Sk+1之間的關(guān)系.
[解析] (1)由已知,得a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,an=.
(2)①證明當n=2時,a2=5×22-2=5,表達式成立.
當n=1時顯然成立,下面用數(shù)學歸納法證明n≥2時結(jié)論亦成立.
②假設n=k(k≥2,k∈N+)時表達式成立,即ak=5×2k-2,
則當n=k+1時,由已知條件和假設有
ak+1=S
16、k=a1+a2+…+ak
=5+5+10+…+5×2k-2
=5+
=5×2k-1
=5×2(k+1)-2.故當n=k+1時,表達式也成立.
由①②可知,對一切n(n≥2,n∈N+)都有an=5×2n-2.
19.在圓x2+y2=r2(r>0)中,AB為直徑,C為圓上異于A,B的任意一點,則有kAC·kBC=-1.你能用類比的方法得出橢圓+=1(a>b>0)中有什么樣的結(jié)論?并加以證明.
[解析] 類比得到的結(jié)論是:在橢圓+=1(a>b>0)中,A,B分別是橢圓長軸的左右端點,點P(x,y)是橢圓上不
17、同于A,B的任意一點,則kAP·kBP=-
證明如下:設A(x0,y0)為橢圓上的任意一點,則A關(guān)于中心的對稱點B的坐標為B(-x0,-y0),點P(x,y)為橢圓上異于A,B兩點的任意一點,則kAP·kBP=·=.
由于A,B,P三點在橢圓上,∴
兩式相減得,+=0,
∴=-,即kAP·kBP=-.
故在橢圓+=1(a>b>0)中,長軸兩個端點為A,B,P為異于A,B的橢圓上的任意一點,則有kAP·kBP=-.
20.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,若f(c)=0,且
18、0<x<c時,f(x)>0.
(1)證明:是f(x)=0的一個根;
(2)試比較與c的大?。?
(3)證明:-2<b<-1.
[解析] (1)證明:∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點,
∴f(x)=0有兩個不等實根x1,x2,
∵f(c)=0,
∴x1=c是f(x)=0的一個根.
又x1x2=,∴x2=(≠c),
∴是f(x)=0的一個根.
(2)解:假設<c.
由>0,當0<x<c時,f(x)>0,
知f()>0,與f()=0矛盾,∴≥c,
又∵≠c,∴>c.
(3)證明:由f(c)=0,得
19、ac+b+1=0,
∴b=-1-ac.
又a>0,c>0,∴b<-1.
二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x=-=<=x2=,即-<.
又a>0,∴b>-2,
∴-2<b<-1.
21.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知對任意的n∈N+,點(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖像上.
(1)求r的值;
(2)當b=2時,記bn=2(log2an+1)(n∈N+),證明:對任意的n∈N+,不等式··…·>成立.
[解析] (1)因為對任意n∈N+
20、,點(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均為常數(shù))的圖像上,所以Sn=bn+r.當n=1時,a1=S1=b+r,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1,
又因為{an}為等比數(shù)列,所以r=-1,公比為b,an=(b-1)bn-1.
(2)證明:當b=2時,an=(b-1)bn-1=2n-1,
bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,
則=,所以··…·=···…·.
下面用數(shù)學歸納法證明不等式:··…·>.
①當n=1時,左邊=,右邊=,因為>,所以不等式成立.
②假設當n=k(k∈N+)時,不等式成立,
即···…·>.則當n=k+1時,
左邊=···…··
>·=
=
=>,
所以當n=k+1時,不等式也成立.
由①②可得,不等式對任何n∈N+都成立,
即··…·>恒成立.