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1、精編北師大版數(shù)學資料
導數(shù)學習中幾個易錯點
一、定義的理解與應用
例1.已知函數(shù)f（x）=2x3+5，求。
分析：本題很容易這樣做：
∵=6x2，∴==24，
或者=3=3=72。
這兩種做法都是錯誤的，錯誤的原因皆在于對導數(shù)的定義理解不深。
解：∵=6x2，
∴=－3=－3=－72。
評注：當是x在x0處的增量時，－3也是x在x0處的增量。本題的正確做法是視－3為增量，套用導數(shù)定義求得極限。
二、單調(diào)遞增就是導數(shù)大于零
例2.已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函數(shù)=a·b在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。
錯解：依定義，。
2、若在（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上可設>0。
∵的圖象是開口向下的拋物線，
∴當且僅當，且時，在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù)。
故t的取值范圍是t>5。
剖析：若>0，則在R上是增函數(shù)反之不成立。如在R上單調(diào)遞增，但≥0所以>0是為增函數(shù)的充分不必要條件。若為增函數(shù)，則≥0，反之不成立。因為≥0，即>0或=0。當函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)恒有=0時，為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。所以，≥0是為增函數(shù)的必要不充分條件。一般地，使=0的離散的點不影響函數(shù)在該區(qū)上的單調(diào)性。如=x+sinx.
正解：依定義，。
若在（-1，1）上是增函
3、數(shù)，則在（-1，1）上可設≥0。
∵的圖象是開口向下的拋物線，∴當且僅當，且時，
在（-1，1）上滿足>0，即在（-1，1）上是增函數(shù)。
故t的取值范圍是t≥5。
三、極值的存在條件
例3.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b。
分析：抓住條件“在x=1處有極值10”所包含的兩個信息，列出兩個方程，解得a，b。a，b有兩組值，是否都合題意需檢驗。
解：=3x2+2ax+b，根據(jù)題意可得，
即
，
易得此時，在x=1兩側(cè)附近符號相同，不合題意。
當時，=（3x+11）（x－1），此時，在x=1兩側(cè)附近符號相異，符合題意。
所以。
4、
評注：極值存在的條件是在極值點處附近兩側(cè)的導數(shù)值應異號。
四、“過某點”和“在某點處“的關系
例4.過點（--1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（ ）
A 2x+y+2=0 B 3x--y+3=0 C x+y+1=0 D x--y+1=0
錯解：=2x+1 所以切線的斜率K=故切線方程為即x+y+1=0
點評“在某點處”的切線表明此點是切點，而“過某點”的切線不一定是切點。這里就忽視了二者的區(qū)別。
正解：設切點坐標是，則切線斜率為k=2x0+1
因為切線過點（--1，0）所以即所以
所以切點坐標為（0，1）或(--2,3)故切線方程
5、為x—y+1=0或3x+y—12=0所以應選D
五、極值與最值的關系
例5.求函數(shù)f(x)=sin2x—x在上的最大值和最小值。
錯解：=，令，得=0。解得或
當時，<0,所以f(x)在是減函數(shù)；當時＞0，所以f(x)是增函數(shù)；當時＜0，所以f(x)是減函數(shù)。
所以當時，f(x)取最大值；當時，f(x)取最小值。
點評：極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的，并不意味著它在函數(shù)的某個區(qū)間上最大（?。?。因此，同一函數(shù)在某一點的極大（?。┲担梢员攘硪稽c的極?。ù螅┲敌。ù螅?；而最值是指閉區(qū)間上所有函數(shù)值的比較，所以極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最值也不一定是極值。對閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應的開區(qū)間內(nèi)可導求上最值可簡化過程。即直接將極值點與端點的函數(shù)值比較，就可判定最大（或最?。┑暮瘮?shù)值就是最大（或最小）值。
正解：=，令，得=0。解得或
所以， 又，
所以函數(shù)f(x) 在上的最大值和最小值分別為。
精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：導數(shù)學習中幾個易錯點
