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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 3計(jì)算導(dǎo)數(shù)課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1．已知f(x)＝x2，則f′(3)等于( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
[答案] C
[解析] f′(x)＝2x?f′(3)＝6.
2．(2014泰安模擬)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為3x－y＋1＝0，則( )
A．f ′(x0)<0 B．f ′(x0)>0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在(x0，f(x0))
2、處的導(dǎo)數(shù)等于曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，所以f ′(x0)＝3.故選B.
3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則切線l的方程為( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y－3＝0
[答案] A
[解析] y′＝4x3，直線x＋4y－8＝0的斜率為－，所以切線l的斜率為4.所以4x3＝4，解得x＝1.所以切點(diǎn)為(1,1)，切線l的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
4．函數(shù)y＝lgx在x＝1處的瞬時(shí)變化率為( )
A．0 B．1
C．ln10 D．
[答案] D
[解析] y′＝，
3、∴函數(shù)在x＝1處的瞬時(shí)變化率為＝.
5．(2014新課標(biāo)Ⅱ理，8)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.
∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.聯(lián)立解得a＝3，故選D.
二、填空題
6．曲線y＝xn在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為12，則n等于________．
[答案] 3
[解析] y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.
7．曲線y＝f(x)＝2x2在點(diǎn)(－1,2)處的切線方程為________．
[
4、答案] 4x＋y＋2＝0
[解析] ∵y＝f(x)＝2x2，
∴f′(x)＝4x，f′(－1)＝－4.
故曲線y＝2x2在點(diǎn)(－1,2)處的切線方程為y－2＝－4(x＋1)，化簡得4x＋y＋2＝0.
8．直線y＝x＋b(b是常數(shù))是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________.
[答案] ln2－1
[解析] 對(duì)曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)得y′＝，令＝得x＝2，故切點(diǎn)坐標(biāo)是(2，ln2)，代入直線方程，得ln2＝2＋b，所以b＝ln2－1.
三、解答題
9．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log2x.
[解析] (1)y′＝′＝(x－2)′＝－
5、2x－3
(2)y′＝()′＝(x)′＝x－
(3)y′＝(log2x)′＝
10．求曲線f(x)＝x3在點(diǎn)(3,27)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積．
[解析] 因?yàn)閒(x)＝x3，所以f′(x)＝3x2，所以f′(3)＝27，得曲線f(x)＝x3在點(diǎn)(3,27)處的切線方程為y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54，
所以切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0)、(0，－54)，
所以切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為S＝254＝54.
一、選擇題
1．下列各式正確的是( )
A．(sina)′＝cosa(a為常數(shù))
B．(cosx)′＝sinx
C．(
6、sinx)′＝cosx
D．(x－5)′＝－x－6
[答案] C
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則易得，注意A選項(xiàng)中的a為常數(shù)，所以(sina)′＝0.故選C．
2．曲線y＝x3＋ax＋1的一條切線方程為y＝2x＋1，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．1 B．3
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
則f ′(x0)＝3x＋a，
∴3x＋a＝2①
又∵切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，
∴x＋ax0＋1＝2x0＋1②
由①②得
3．過曲線y＝上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A． B．或
C． D．
[答案
7、] B
[解析] y′＝′＝－，
解得－＝－4，解得x＝，
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選B.
4．已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點(diǎn)P(1,1)處的切線互相垂直，則為( )
A． B．－
C． D．－
[答案] D
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的定義可得y′＝3x2，
∴y＝x3在點(diǎn)P(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝3，
由條件知，3＝－1，∴＝－.
二、填空題
5．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為____________．
①若f(x)＝，則f′(0)＝0；
②(logax)′＝xlna(a＞0，a≠1)；
③加速度是動(dòng)點(diǎn)位移s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；
8、
④曲線y＝x2在(0,0)處沒有切線．
[答案] 0
[解析]?、僖?yàn)閒(x)＝，當(dāng)x趨于0時(shí)不存在極限，所以x＝0處不存在導(dǎo)數(shù)，故錯(cuò)誤；②(logax)′＝，(a＞0，a≠1)，故錯(cuò)誤；③瞬時(shí)速度是位移s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，故錯(cuò)誤；④曲線y＝x2在(0,0)處的切線為直線y＝0，故錯(cuò)誤．
6．過原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為____________，切線的斜率為____________．
[答案] (1，e) e
[解析] ∵(ex)′＝ex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ex0)，則過該切點(diǎn)的直線的斜率為ex0，
∴直線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)．
∴y－ex
9、0＝ex0x－x0ex0.
∵直線過原點(diǎn)，∴(0,0)符合上述方程．
∴x0ex0＝ex0.∴x0＝1.
∴切點(diǎn)為(1，e)，斜率為e.
三、解答題
7．試比較曲線y＝x2與y＝在它們交點(diǎn)處的切線的傾斜角的大?。?
[解析] 解方程組，得，即兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．
對(duì)于函數(shù)y＝x2，y′＝2x，所以曲線y＝x2在交點(diǎn)(1,1)處的切線l1的斜率k1＝2；對(duì)于函數(shù)y＝，y′＝－，所以曲線y＝在交點(diǎn)(1,1)處的切線l2的斜率k2＝－1.
由于k1>0，k2<0，所以切線l1的傾斜角小于切線l2的傾斜角．
8.試求過點(diǎn)A(3,5)且與曲線y＝f(x)＝x2相切的直線方程．
10、
[分析] 本題的關(guān)鍵在于求切線的斜率，首先判斷A是否在曲線上，若A在曲線上，則A可能為切點(diǎn)，否則A不是切點(diǎn)，則需要設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)．
[解析] 點(diǎn)A不在曲線y＝x2上，應(yīng)先求切點(diǎn)．設(shè)所求切線的切點(diǎn)為P(x0，y0)，因?yàn)镻是曲線y＝x2上一點(diǎn)，所以y0＝x.又過點(diǎn)P(x0，y0)的切線斜率為f′(x0)＝2x0，而所求切線過點(diǎn)A(3,5)和P(x0，y0)兩點(diǎn)，所以其斜率又應(yīng)為.所以2x0＝，將它與y0＝x聯(lián)立，得所以或即切點(diǎn)為(1,1)或(5,25)．當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線斜率k1＝2，相應(yīng)切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1；當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線斜率k2＝10，相應(yīng)切線方程為y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.
綜上，所求切線方程為y＝2x－1或y＝10x－25.
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