與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練:第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時跟蹤訓練24 Word版含解析

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1、 課時跟蹤訓練(二十四) [基礎鞏固] 一、選擇題 1.已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a,燈塔A在C的北偏東20,燈塔B在C的南偏東40,則燈塔A與燈塔B的距離為(  ) A.a(chǎn) B.a C.a D.2a [解析] 如圖所示,由余弦定理可知,AB2=a2+a2-2aacos120=3a2得AB=a.故選B. [答案] B 2.如圖,設A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計算出A、B兩點的距離為(  ) A.50 m B.50 m C.2

2、5 m D. m [解析] 由題意得∠B=180-45-105=30, 由正弦定理得=, ∴AB===50(m). [答案] A 3.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的(  ) A.北偏東10 B.北偏西10 C.南偏東10 D.南偏西10 [解析] 燈塔A、B的相對位置如圖所示,由已知得∠ACB=80, ∠CAB=∠CBA=50, 則α=60-50=10,即北偏西10. [答案] B 4.在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30,測得湖中之影的俯角為45,則云距湖面的

3、高度為(精確到0.1 m)(  ) A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m [解析] 依題意畫出示意圖. 則= ∴CM=10 ≈37.3. [答案] C 5.張曉華同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上,15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上,則電動車在點B時與電視塔S的距離是(  ) A.2 km B.3 km C.3 km D.2 km [解析] 畫出示意圖如圖, 由條件知AB=24=6.在△ABS中,∠BAS=30,AB

4、=6,∠ABS=180-75=105,所以∠ASB=45.由正弦定理知=,所以BS==3. [答案] B 6.在200米高的山頂上,測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30,60,則塔高為(  ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 [解析] 作出示意圖如右圖, 由已知,在Rt△OAC中,OA=200,∠OAC=30,則OC=OAtan∠OAC=200tan30=. 在Rt△ABD中,AD=,∠BAD=30, 則BD=ADtan∠BAD=tan30=, ∴BC=CD-BD=200-=. [答案] A 二、填空題 7.一船以每小時15 km的速度向正東航行,船

5、在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15方向,這時船與燈塔的距離為________km. [解析]  如圖所示,依題意有: AB=154=60,∠MAB=30, ∠AMB=45, 在△AMB中, 由正弦定理得=, 解得BM=30(km). [答案] 30 8.(20xx廣東廣州市高三綜合測試)江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺底部連線成30角,則兩條船相距________m. [解析] 如圖,由題意知,OA=30, ∠OAM=45,∠O

6、AN=30, ∠MON=30. 在Rt△AOM中,OM=OA tan∠OAM=30tan45=30. 在Rt△AON中,ON=OAtan∠OAN=30tan30=10. 在△MON中,由余弦定理得 MN= = ==10(m). [答案] 10 9.(20xx山西大學附中檢測)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于________m. [解析] 如圖,∠ACD=30, ∠ABD=75,AD=60 m, 在Rt△ACD中,CD===60(m), 在Rt△ABD中,BD=== =60(

7、2-)(m), ∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m). [答案] 120(-1) 三、解答題 10.港口A北偏東30方向的C處有一檢查站,港口正東方向的B處有一輪船,距離檢查站為31海里,該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達D處觀測站,已知觀測站與檢查站距離21海里,問此時輪船離港口A還有多遠? [解] 在△BDC中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理知,cos∠CDB==-, ∴sin∠CDB=. ∴sin∠ACD=sin=sin∠CDBcos-cos∠CDBsin =. 在△ACD中,由正弦定理知=?AD=21=15. ∴此時輪

8、船距港口還有15海里. [能力提升] 11.(20xx山西太原模擬)某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進1000 m后到達D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?0 ,則山的高度BC為(  ) A.500(+1)m B.500 m C.500(+1)m D.1000 m [解析]  過點D作DE∥AC交BC于E,因為∠DAC=30,故∠ADE=150.于是∠ADB=360-150-60=150.又∠BAD=45-30=15,故∠ABD=15,由正弦定理,得AB===500(+)(m) 所以在Rt△ABC中,BC=ABsin45=500(+1)(m).

9、 [答案] A 12.某人在C點測得某塔在南偏西80,塔頂仰角為45,此人沿南偏東40方向前進10米到D,測得塔頂A的仰角為30,則塔高為(  ) A.15米 B.5米 C.10米 D.12米 [解析] 如圖,設塔高為h, 在Rt△AOC中,∠ACO=45,則OC=OA=h. 在Rt△AOD中,∠ADO=30, 則OD=h, 在△OCD中,∠OCD=120, CD=10, 由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OCCDcos∠OCD, 即(h)2=h2+102-2h10cos120, ∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍). [答案] 

10、C 13.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60的方向,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的倍,則甲船應取方向________才能追上乙船;追上時甲船行駛了________海里. [解析] 如圖所示,設到C點甲船追上乙船,乙到C地用的時間為t,乙船速度為v, 則BC=tv,AC=tv,B=120, 由正弦定理知=, ∴=, ∴sin∠CAB=,∴∠CAB=30,∴∠ACB=30, ∴BC=AB=a, ∴AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120 =a2+a2-2a2=3a2,∴AC=a. [答案] 北偏東30 a 14. (20xx廣東省五校協(xié)作體

11、高三一診)如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15,沿山坡前進50 m到達B處,又測得∠DBC=45,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=________. [解析] 由∠DAC=15,∠DBC=45可得∠BDA=30,∠DBA=135,∠BDC=90-(15+θ)-30=45-θ,由內角和定理可得∠DCB=180-(45-θ)-45=90+θ,根據(jù)正弦定理可得=,即DB=100sin15=100sin(45-30)=25(-1),又=,即=,得到cosθ=-1. [答案]?。? 15.海島B上

12、有一座高為10米的塔,塔頂有一個觀測站A,上午11時測得一游船位于島北偏東15方向上,且俯角為30的C處,一分鐘后測得該游船位于島北偏西75方向上,且俯角為45的D處.(假設游船勻速行駛) (1)求該船行駛的速度(單位:米/分鐘); (2)又經(jīng)過一段時間后,游船到達海島B的正西方向E處,問此時游船距離海島B多遠? [解] (1)在Rt△ABC中,∠BAC=60,AB=10, 則BC=10米; 在Rt△ABD中,∠BAD=45,AB=10,則BD=10米; 在△BCD中,∠DBC=75+15=90, 則CD= =20米. 所以速度v==20米/分鐘. (2)在Rt△BCD中

13、,∠BCD=30, 又因為∠DBE=15,所以∠CBE=105,所以∠CEB=45. 在△BCE中,由正弦定理可知=, 所以EB==5米. [延伸拓展]  (20xx江西宜春段考)某工廠實施煤改電工程防治霧霾,欲拆除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內的兩個觀測點C,D,測得∠BCD=75,∠BDC=60,CD=40米,并在點C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30,且CE=1米,則煙囪高AB=________米. [解析] ∠CBD=180-∠BCD-∠BDC=45, 在△CBD中,根據(jù)正弦定理得BC==20, ∴AB=1+tan30CB=1+20(米). [答案] 1+20

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