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1、精編北師大版數(shù)學資料
用導數(shù)求切線方程的四種類型
求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．
下面例析四種常見的類型及解法．
類型一：已知切點，求曲線的切線方程
此類題較為簡單，只須求出曲線的導數(shù)，并代入點斜式方程即可．
例1 曲線在點處的切線方程為（ ?。?
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：由則在點處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選Ｂ．
類型二：已知斜率，求曲線的切線方程
此類題可利用斜率求出切點，再用點
2、斜式方程加以解決．
例2 與直線的平行的拋物線的切線方程是（ ?。?
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解：設為切點，則切點的斜率為．
．
由此得到切點．故切線方程為，即，故選Ｄ．
評注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設切線方程為，代入，得，又因為，得，故選Ｄ．
類型三：已知過曲線上一點，求切線方程
過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法．
例3 求過曲線上的點的切線方程．
解：設想為切點，則切線的斜率為．
切線方程為．
．
又知切線過點，把它代入上述方程，得．
解得，或．
故所求切線方程為，或，即，或．
評
3、注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點，實際上是經(jīng)過了點且以為切點的直線．這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點，解決此類問題可用待定切點法．
類型四：已知過曲線外一點，求切線方程
此類題可先設切點，再求切點，即用待定切點法來求解．
例4 求過點且與曲線相切的直線方程．
解：設為切點，則切線的斜率為．
切線方程為，即．
又已知切線過點，把它代入上述方程，得．
解得，即．
評注：點實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點法的高效性．
例5 已知函數(shù)，過點作曲線的切線，求此切線方程．
解：曲線方程為，點不在曲線上．
設切點為，
則點的坐標滿足．
因，
故切線的方程為．
點在切線上，則有．
化簡得，解得．
所以，切點為，切線方程為．
評注：此類題的解題思路是，先判斷點A是否在曲線上，若點A在曲線上，化為類型一或類型三；若點A不在曲線上，應先設出切點并求出切點．
精編高中數(shù)學北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：用導數(shù)求切線方程的四種類型
