精編高中數(shù)學 第4章 3定積分的簡單應用課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、精編北師大版數(shù)學資料 【成才之路】2015-2016學年高中數(shù)學 第4章 3定積分的簡單應用課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．已知自由下落物體的速度為v＝gt，則物體從t＝0到t＝t0所走過的路程為(　　) A．gt B．gt C.gt D．gt [答案]　C [解析]　 gtdt＝gt2|＝gt. 2．如果1 N的力能把彈簧拉長1 cm，為了將彈簧拉長6 cm，所耗費的功為(　　) A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J [答案]　A [解析]　設F(x)＝kx. 當F＝1 N時，x＝0.01 m，則k＝100

2、， 所以F(x)＝100x， 所以W＝∫100xdx＝50x2|＝0.18 J. 3．(2014湖北理，6)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1,1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)： ①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2. 其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　由題意，要滿足f(x)，g(x)是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)，即需滿足f(x)g(x)dx＝0. ① f(x)g(x

3、)dx＝sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)|＝0，故第①組是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)； ②f(x)g(x)dx＝－1(x＋1)(x－1)dx＝(－x)|＝－≠0，故第②組不是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)； ③f(x)g(x)dx＝xx2dx＝|＝0，故第③組是區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)． 綜上，其中為區(qū)間[－1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是2. 4．直線y＝2x，x＝1，x＝2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓臺，則該圓臺的體積為(　　) A．　　 B．32π　　 C．　　 D．3π [答案]　A [解析]　由V＝π(2x)2dx＝π4x2dx＝4π

4、x2dx＝4πx3|＝(8－1)＝. 5．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [答案]　C [解析]　本題考查了定積分的計算與幾何概型的算法，聯(lián)立∴O(0,0)，B(1,1)， ∴S陰影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝. 定積分的幾何意義是四邊梯形的面積，幾何概型的概率計算方法是幾何度量的比值． 二、填空題 6．設函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若 f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________． [答案]　 [解析]　因為(x3＋cx)′＝

5、ax2＋c，所以 f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝(x3＋cx)|＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．故填. 7．(2015福建理，13)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________． [答案]　 [解析]　由已知得陰影部分面積為4－x2dx＝4－＝.所以此點取自陰影部分的概率等于＝. 8．(2014寧波五校聯(lián)考)由曲線y＝2x2，直線y＝－4x－2，直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為________． [答案]　 [解析]　聯(lián)立 解得直線與拋物線的交點橫坐標

6、為x＝－1， 由題意得，由曲線y＝2x2，直線y＝－4x－2， 直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為： (2x2＋4x＋2)dx ＝(x3＋2x2＋2x) ＝＋2＋2＋－2＋2＝. 三、解答題 9．求由曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積． [解析]　由 得x1＝0，x2＝2. 如圖所示，所求圖形的面積 S＝(2x－x2)dx＋|(2x2－4x)dx| ＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx ＝(x2－x3)|－(x3－2x2)|＝4. 10．求由曲線y＝sinx與x軸在區(qū)間[0,2π]上所圍成的圖形的面積S. [分析] 　y＝sinx在[0，

7、π]上的積分為正值，在[π，2π]上的積分為負值，其面積應取絕對值． [解析]　如圖所示，所求面積 S＝sinxdx＋|∫sinxdx|＝(－cosx)|－(－cosx)|＝4. 一、選擇題 1．求曲線y＝x2與直線y＝x所圍成圖形的面積，其中正確的是(　　) A．S＝(x2－x)dx　　　　 B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy [答案]　B [解析]　作出圖形，容易判斷應選B. 2．由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(　　) A． B．4 C. D．6 [答案]　C [解析]　由題意知，所圍成的面

8、積[－(x－2)]dx＝(x－x2＋2x)|＝4－42＋24＝. [點評]　本小題重在考查由兩條曲線與y軸所圍成的曲邊形的面積，要注意用函數(shù)值較大的減去函數(shù)值較小函數(shù)的積分值，并注意積分上、下限范圍． 3．(2014廣州模擬)物體A以v＝3t3＋1(m/s)的速度在一直線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v＝10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后物體A追上物體B所用的時間t(s)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [答案]　C [解析]　因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt，所以(3t2＋

9、1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|＝t3＋t－5t2＝5?(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5. 二、填空題 4．由直線y＝x和曲線y＝x3(x≥0)所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________． [答案]　 [解析]　由 求得或 所以V＝πx2dx－πx6dx ＝πx2dx－πx6dx ＝π ＝π＝. 5．拋物線y＝x2與直線y＝x所圍成的圖形的面積是________． [答案]　 [解析]　如圖，y＝x2與y＝x的交點坐標為(0,0)和(，)，所以所求的面積為 S＝ (x－x2)dx＝(x2－x3) ＝[()2－()3]－0＝.

10、 6．曲線y＝ex，直線x＝0，x＝與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________． [答案]　 [解析]　V＝π(ex)2dx＝πe2xdx＝＝(e－1)＝. 三、解答題 7．計算(y－1)2＝x＋1及y＝x所圍的平面圖形的面積． [分析] 　首先畫出草圖(如圖所示)，若選x為積分變量，則需將圖形分割，運算繁瑣，可選用y作為積分變量，為此求出兩線交點的縱坐標，確定出被積函數(shù)和積分的上、下限． [解析]　將已知條件改寫為x＝y(tǒng)以及x＝(y－1)2－1，由圖知所求面積為陰影部分的面積． 解方程組得交點的縱坐標為y1＝0及y2＝3， 因此，陰影部分面積

11、S＝{y－[(y－1)2－1]}dy＝(3y－y2)dy＝＝. [點評]　解此類問題要注意觀察草圖及被積函數(shù)式子的特點，靈活選用積分變量． 8．求由曲線y＝x2，直線y＝x所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． [解析]　曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的圖形如圖中陰影部分． 設所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，根據(jù)圖像可以看出V等于直線y＝x，x＝1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(設為V1)減去曲線y＝x2，直線x＝1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(設為V2)． 因為V1＝πx2dx＝＝(13－03)＝， V2＝π(x2)2dx＝πx4dx＝＝， 所以V＝V1－V2＝－＝. [點評]　求旋轉(zhuǎn)體的體積時，要先畫出平面圖形，分析旋轉(zhuǎn)體的形狀，再利用定積分求解，本題中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是由兩個不同的旋轉(zhuǎn)體的體積作差得到的．