高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第三章167;3 模擬方法——概率的應(yīng)用 Word版含答案

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 [核心必知] 1．模擬方法 在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下，可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)其發(fā)生的概率，但確定隨機(jī)事件發(fā)生的頻率常常需要人工做大量的重復(fù)試驗(yàn)，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，并且有時(shí)很難實(shí)現(xiàn)．因此，我們可以借助于模擬方法來(lái)估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率． 2．幾何概型 (1)定義：向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，即 P(點(diǎn)M落在G1)＝，則稱這種模型為幾何概型． (2)說(shuō)明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長(zhǎng)度之比． [問(wèn)題思考]

2、 1．幾何概型的概率計(jì)算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？ 提示：幾何概型的概率只與它的長(zhǎng)度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無(wú)關(guān)． 2．在幾何概型中，如果A為隨機(jī)事件，若P(A)＝0，則A一定為不可能事件；若P(A)＝1，則A一定為必然事件，這種說(shuō)法正確嗎？ 提示：這種說(shuō)法不正確．如果隨機(jī)事件所在的區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，顯然它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件． 講一講 1.取一根長(zhǎng)為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于1

3、m的概率有多大？ [嘗試解答]　如圖所示，記事件A＝{剪得兩段繩子長(zhǎng)都不小于1 m}，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生． 全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是繩子的長(zhǎng)度3 m，事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是中間一段的長(zhǎng)度為3×＝1(m)，故事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到幾何區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過(guò)程中，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率． 練一練 1．在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為_

4、_______． 解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1， 故易知所求概率為＝. 答案： 講一講 2.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30～7：30把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間是7：00～8：00，問(wèn)你父親在離開家前能拿到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少？ [嘗試解答]　如圖，送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間是6：30～7：30的任一時(shí)刻，父親離開家去工作的時(shí)間是7：00～8：00的任一時(shí)刻，如果在直角坐標(biāo)系內(nèi)以x軸表示報(bào)紙送到的時(shí)間，y軸表示父親離開家的時(shí)間，因?yàn)閳?bào)紙送到的時(shí)間和父親離開家的時(shí)間都是隨機(jī)的，所以隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的任意一點(diǎn)．事

5、件A(父親離開家前能拿到報(bào)紙)發(fā)生須x≤y，即正方形內(nèi)陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件． μA＝12－××＝，μΩ＝1，所以P(A)＝＝. 在研究射擊、射箭、投中、射門等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常借助于區(qū)域的面積來(lái)計(jì)算概率的值．此時(shí)，只需分清各自區(qū)域特征，分別計(jì)算其面積，以公式P(A)＝ 計(jì)算事件的概率即可． 練一練 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E中的概率為________． 解析：如圖所示，區(qū)域D表示邊

6、長(zhǎng)為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此P＝＝. 答案： 講一講 3.有一杯2升的水，其中含有一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率． [嘗試解答]　把判斷這個(gè)細(xì)菌所在的位置看成一次試驗(yàn)，設(shè)所取的0.1升水中含有這個(gè)細(xì)菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是0.1升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以P(A)＝＝0.05. 如果試驗(yàn)的結(jié)果所成的區(qū)域可用體積來(lái)度量，我們要結(jié)合問(wèn)題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的總體積及事件A所分布的體積．其概率的計(jì)算 P(A)＝. 練一練 3．在棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)

7、任意取一個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)點(diǎn)到各面的距離均大于1的概率． 解：記事件A為“點(diǎn)到各面的距離均大于1”，則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋何挥谠撜襟w中心的一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體的內(nèi)部．由幾何概型的計(jì)算公式，可得滿足題意的概率為P(A)＝＝. 講一講 4.設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能的任取一點(diǎn)與A連接，求弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的倍的概率． [嘗試解答]　如圖所示，在⊙O上有一定點(diǎn)A，任取一點(diǎn)B與A連結(jié)，則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的倍，即為∠AOB的度數(shù)大于90°，而小于270°. 記“弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的倍”為事件C， 則C表示的范圍是∠AOB∈(，)． 則由幾何概型概率的公式，得

8、 P(C)＝＝. 如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來(lái)表示，則其概率的計(jì)算公式為 P(A)＝. 練一練 4．在轉(zhuǎn)盤游戲中，假設(shè)轉(zhuǎn)盤有三種顏色：紅、綠、藍(lán)．當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，如果指針指向紅色為贏，綠色為平，藍(lán)色為輸．若每種顏色被平均分成四塊，不同顏色相間排列，要使贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，求每個(gè)綠色扇形的圓心角為多少度(假設(shè)轉(zhuǎn)盤停止位置都是等可能的)． 解：由于轉(zhuǎn)盤停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，指針指向每個(gè)位置都是等可能的，并且位置是無(wú)限多的，所以符合幾何概型的特點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓盤角度或周期問(wèn)題． 因?yàn)橼A的概率為，故紅色所占角度為周角的，即P1＝＝72°.同理，藍(lán)色占周角

9、的，即P2＝＝120°， 所以綠色的角度P3＝360°－120°－72°＝168°. 再將P3分成四等份，得P3÷4＝168°÷4＝42°， 即每個(gè)綠色扇形的圓心角為42°. 【解題高手】【易錯(cuò)題】 如圖，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM<AC的概率． [錯(cuò)解]　在AB上截取線段AC′，使AC′＝AC. 則P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝＝. [錯(cuò)因]　因?yàn)樵擃}所涉及的基本事件是與角度有關(guān)的

10、，而不是在線段AB上取點(diǎn)，即該題是與角度有關(guān)的幾何概型，而不是與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型． [正解]　在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝＝67.5°. ∴P(AM<AC)＝＝. 1．在500 mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為(　　) A．0　　　B．0.002 C．0.004 D．1 解析：選C 由幾何概型公式得：P＝＝0.004. 2．(遼寧高考)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20 cm2的概率為(　　) A.

11、 B. C. D. 解析：選C 設(shè)|AC|＝x cm,0<x<12，則|CB|＝(12－x) cm，要使矩形面積大于20 cm2，只要x(12－x)>20，則x2－12x＋20<0,2<x<10，所以所求概率為P＝＝. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D 由已知，點(diǎn)P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝. 4． 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落

12、在60°的終邊上，任作一條射線OA，射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________． 解析：記B＝{射線OA落在∠xOT內(nèi)}， ∵∠xOT＝60°， ∴P(B)＝＝. 答案： 5．兩根相距6 m的木桿系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2 m的概率是________． 解析：由題意P＝＝. 答案： 6．國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長(zhǎng)的磁帶上，從開始30 s處起，有10 s長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息．后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有

13、內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？ 解：記A＝{按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉}，A的發(fā)生就是在0到 min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵．P(A)＝＝. 一、選擇題 1．在區(qū)間[0,3]上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在區(qū)間[2,3]上的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A 區(qū)間[2,3]長(zhǎng)度為1，總區(qū)間[0,3]的長(zhǎng)度為3，∴P＝. 2． 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為(　　) A. B. C.

14、 D．無(wú)法計(jì)算 解析：選B 由幾何概型的公式知：＝，又：S正方形＝4，∴S陰影＝. 3．有四個(gè)游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)．小明希望中獎(jiǎng)，他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤為(　　) 解析：選A A游戲盤的中獎(jiǎng)概率為，B游戲盤的中獎(jiǎng)概率為，C游戲盤的中獎(jiǎng)概率為＝，D游戲盤的中獎(jiǎng)概率為＝，A游戲盤的中獎(jiǎng)概率最大． 4．A是圓上的一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)B，連接A、B兩點(diǎn)，它是一條弦，則它的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B 如圖，當(dāng)取點(diǎn)落在B、C兩點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)取點(diǎn)落在劣弧上時(shí)，弦長(zhǎng)小于半徑；當(dāng)取點(diǎn)落

15、在優(yōu)弧上時(shí)，弦長(zhǎng)大于半徑．所以弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率P＝＝. 5．在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A 設(shè)在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內(nèi)，則有0≤a2＋b2≤1.如圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內(nèi)的點(diǎn)在單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為＝. 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點(diǎn)x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________． 解析：由f(x0)≤0得x0－2

16、≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]． 設(shè)使f(x0)≤0為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是2－(－5)＝7，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度是5－(－5)＝10，則P(A)＝. 答案： 7．圓上的任意兩點(diǎn)間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率是________． 解析：如圖所示，從點(diǎn)A出發(fā)的弦中，當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)落在劣弧B上的時(shí)候，滿足已知條件，當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)在劣弧A或劣弧A上的時(shí)候不能滿足已知條件．又因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以弦長(zhǎng)大于正三角形邊長(zhǎng)的概率是. 答案： 8．已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)任一點(diǎn)，則P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于2的概率是________．

17、 解析：如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，分別以A、B、C、D為圓心，并以2為半徑畫圓截正方形ABCD后剩余部分是陰影部分． 則陰影部分的面積是42－4××π×22＝16－4π， 所以所求概率是＝1－. 答案：1－ 三、解答題 9．在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，求△ABP與△ABC的面積之比大于的概率． 解：設(shè)P點(diǎn)、C點(diǎn)到AB的距離分別為dP、dC， 則S△ABP＝AB·dP，S△ABC＝AB·dC， 所以＝，要使>， 只需使P點(diǎn)落在某條與AB平行的直線的上方， 當(dāng)然P點(diǎn)應(yīng)在△ABC之內(nèi)，而這條與AB平行的直線EF與AB的距離要大于dC的. 由幾何概率公式，得P＝＝2＝. 10．甲、乙兩人約定晚6點(diǎn)到晚7點(diǎn)之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時(shí)，而乙還有其他安排，若他早到則不需等待．求甲、乙兩人能見面的概率． 解：用x軸、y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間． 若甲早到，當(dāng)y－x≤30時(shí)，兩人仍可見面；若乙早到，則兩人不可能見面，因此，必須有x≤y. 如圖，事件A“兩人可以見面”的可能結(jié)果是陰影部分的區(qū)域． 故P(A)＝＝.